Lösen DGL Anfangswertproblem: y'=y+2x mit y(0)=1

Question

Kann mir bitte jemand helfen beim lösen folgender DGL

y'=y+2x, y(0)=1

Dankeschön

Answer 1

Ich rate Dir diese DGL NICHT mit einem Potenzreihenansatz zu rechnen.

Ist viel zu umfangreich.Ich denke auch , das das in der Praxis fast niemand wirklich macht.

Lösung durch "Variation der Konstanten"

zum Schluss noch die AWB einsetzen.

y(0)=1

1= C₁ *e^0 -2*0-2

1=C₁ -2

C₁= 3

------>

Lösung:

y= 3 e^x -2x-2

Comments

Danke für deine Hilfe. Variation der Konstanten ist mir bekannt, aber wir hatten das bisher so, dass wir g(x) und die Stammfunktion von g(x) und s(x) wählen und dann wie folgt einsetzten

(∫s(x)*e(-G(x)) ex + C)) *e^G(x)

Deswegen kann ich deine Schritte nicht ganz nachvollziehen, also dass du aus C*e^x = c(x)*e^x machst etc..

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ignorier mein Kommentar, alles gut ich komme auf dasselbe!! Dankee

Answer 2

Du kannst auch einen Potenzreihenansatz machen. Ich bilde zunächst die Ableitungen.

$$ f(x)=\sum_{k=0}^\infty a_k\cdot x^k\\f'(x)=\sum_{k=1}^\infty k\cdot a_k\cdot x^{k-1}=\sum_{k=0}^\infty(k+1)\cdot a_{k+1}\cdot x^k $$

Deine Ausgangsgleichung ergibt umgeformt:

$$ f(x)-f'(x)=-2\cdot x $$

Dort setz ich die Pozenreihen ein:

$$  f(x)=\sum_{k=0}^\infty a_k\cdot x^k-\sum_{k=0}^\infty(k+1)\cdot a_{k+1}\cdot x^k \\[10pt]=\sum_{k=0}^\infty(a_k-(k+1)\cdot a_{k+1})\cdot x^k=-2\cdot x$$

Nun führe ich einen Koeffizientenvergleich durch. Mit dem gegebenen Anfangswert kann ich a_0 berechnen: $$ a_0=\frac{f(0)}{0!}=1$$ Man sieht außerdem, dass gilt:$$ (a_0-a_1)\cdot x^0=0\cdot x^0\\\Leftrightarrow a_0-a_1=0 \\\Leftrightarrow 1-a_1=0\\ \Leftrightarrow a_1=1\\[20pt](a_1-2\cdot a_2)\cdot x=-2\cdot x\\\Leftrightarrow a_1-2\cdot a_2=-2\\\Leftrightarrow 1-2\cdot a_2=-2\\\Leftrightarrow a_2=\frac{3}{2} $$

Ansonsten gilt jetzt $$ a_k-(k+1)\cdot a_{k+1}=0,\quad k\geq 2, $$ womit ich nun alle weiteren Koeffizienten berechnen kann. Dann ist also $$ a_{k+1}=\frac{a_k}{k+1}, \quad a_2=\frac{3}{2}\\a_3=\frac{a_2}{3}=\frac{3}{2\cdot 3}\\a_4=\frac{a_3}{4}=\frac{3}{2\cdot 3\cdot 4}\\a_5=\frac{a_4}{5}=\frac{3}{2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}$$

Ich glaube man sieht, wo die Reise hingeht.

Dann hat man diese expliziete Darstellung$$ a_k=\frac{3}{k!}\quad k\geq 2 $$

Insgesamt hat man also folgende Potenzreihe:

$$ 1+1\cdot x+\sum_{k=2}^\infty \frac{3}{k!}\cdot x^k\\=1+x+3\cdot \sum_{k=2}^\infty \frac{1}{k!}\cdot x^k\\=1+x-3\cdot \frac{1}{0!}\cdot x^0-3\cdot \frac{1}{1!}\cdot  x+3\cdot \sum_{k=0}^\infty\frac{1}{k!}\cdot x^k\\=1+x-3-3\cdot x+3\cdot \sum_{k=0}^\infty\frac{1}{k!}\cdot x^k=\underline{\underline{3\cdot e^x-2\cdot (x+1)}}=f(x) $$

Answer 3

homogene Gleichung:

y'=y ---> y_h=c*e^{x}

partikuläre Lösung durch Ansatz:

y=ax+b

da die Inhomogenität 2x eine lineare Funktion ist.

einsetzen:

y'=a=ax+b+2x

a=(a+2)x+b

Koeffizientenvergleich:

0=a+2 ---> a=-2

a=b ---> b=-2

y_p=-2x-2

y=c*e^x  -2x-2

y(0)=c-2 = 1 ---> c=3