Der Kern eines inneren Homomorphismus

Question

es soll gezeigt wereden, dass der Kern von

C_g : G →G, a↦C_g(a)=gag^-1 das Zentrum von G ist.

Ich möchte gar keine ganzen Lösungen, sondern bitte nur einen Denkanstoß, wie man das ganze angehen kann.

Comments

Was ist das Zentrum von G?

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Das Zentrum von ist die Menge

Z(G):={b∈G: b·x=x·b für alle x∈G }

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Ah, verstehe, das Zentrum ist also die kommutative Teilmenge von G.

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Bist du sicher, dass alle Angaben vollständig sind und zum Beispiel keine Mengenklammer fehlt?

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Vielleicht fehlt noch die Angabe, dass das Zentrum desHomomorphismus C:G→Aut(G) gesucht ist, wobei ich selber mit Aut(G) nicht allzu viel anfangen kann...

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Es ist ja ein Unterschied, ob ich den Kern einer einzelnen Abbildung a ↦ gag^{-1} suche (der wegen gag^{-1} = e ⇒ ga = g im übrigen nur aus einem Element (a = e) besteht) oder ob ich den Kern einer ganzen Menge von Abbildungen suche. Der Kern einer Abbildung, die von einer Menge von Abbildungen in eine Menge von Abbildungen abbildet, entspricht der Menge aller Abbildungen, die die Identität bilden. Die Identität ist das neutrale Element der Menge aller Abbildungen.

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Ok, also in der Aufgabe ist der Homomorphismus so definiert, dass jedem Gruppenelemt g∈G der innere Automorphismus

Cg : G →G, a↦Cg(a)=gag-1

zugeordnet wird.

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Ist das etwa ein Duplikat von
https://www.mathelounge.de/57610/zeigen-kern-eines-homomorphismus-gruppen-eine-untergruppe?show=57633

??

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Nein Lu, das ist doch ganz offensichtlich kein Duplikat.

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Das stimmt...

Answer 1

Hallo nochmal,

ordnen wir jedem Gruppenelement \( g \in G \) den inneren Automorphismus \( C_g : G \rightarrow G, a \mapsto C_g(a) = gag^{-1} \) zu, so gilt: Der Kern dieser Zuordnung entspricht der Menge aller Abbildungen, die die Identität sind, das heißt für die gilt

\( C_g(a) = a \).

Aus \( C_g(a) = gag^{-1} = a \) folgt dann durch Links- oder Rechtsmultiplikation von g^{-1} oder g, dass \( ag^{-1} = g^{-1}a \) beziehungweise \( ga = ag \).

\( g \) (und natürlich auch \(g^{-1}\)) gehört offensichtlich zum Zentrum von \( G \).

MfG

Mister

Comments

 Mein Problem war, das ich (bisher) nicht so ganz verstanden habe, was der innere Automorphismus genau macht. Das hat mir echt geholfen :)