Grenzwertrechnung: darf man so argumentieren?

Question

Bonjour,

Beispiel:

$$T(t)=\frac{60t^2+24750}{3t^2+17.5t+275}$$

Der Limes von T(t) für t --> ∞ ist gleich 60/3 = 20

Argumentation:

Die Absolutglieder der Terme des Faktors bzw. Zählers verfallen in der Grenzwertrechnung, da ±∞+c = ±∞ ist. Des Weiteren wachsen  x^2 und x^2 gleich schnell, weshalb man darauf schließen kann, dass der Quotient der jeweiligen Leitkoeffizienten [der Terme], den Grenzwert darstellt.

Answer 1

Du darfst so argumentieren - die Frage ist nur, ob dein Prof. sich mit so etwas dahergesagten wie "verfallen in der Grenzwertrechnung" zufrieden gibt. Was du da sagst ist ein (berechtigter) Erfahrungswert, aber sauber ist das nicht.

Kürze Zähler und Nenner mit t², und du erhältst

$$T(t)=\frac{60+\frac{24750}{t²}}{3+\frac{17.5}{t}+\frac{275}{t²}}$$.

Der Limes davon ist nach Grenzwertsätzen

$$\frac{60+0}{3+0+0}$$, weil drei der fünf beteiligten Delinquenten berüchtigte Nullgangster sind.

Comments

Die andere Berechnung kenne ich ja, aber ich möchte ökonomisch vorgehen... einmal diese zwei Sätze aufschreiben und danach ganz easy die Grenzwerte bei gleichen Graden (Zähler/Nenner).

---

Im Prinzip sagen die "Grenzwertsätze", die du ansprichst genau dasselbe.

t^2 wächst selbstredend schneller als 24750.

---

Es gibt einen beweisbaren Satz:

Wenn Zähler und Nenner einer geb.-rat. Fkt. jeweils ganzrationale Funktionen gleichen Grades sind, so ist der Grenzwert für x gegen unendlich gleich den Quotienten der Leitkoeffizienten.

---

$$\begin{aligned}f(x)&=\frac{a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_1x+a_0}{b_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +b_1x+b_0}\\ \\ &=(a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_1x+a_0):(b_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +b_1x+b_0)\\ \\ &=\frac{a_n}{b_n}+\frac{ \frac{a_{n-1}b_n-a_nb_{n-1}} {b_n}x^{n-1}+\frac{a_{n-2}b_n-a_nb_{n-2}} {b_n}x^{n-2}+\dots+\frac{a_{1}b_n-a_nb_{1}} {b_n}x+\frac{a_{0}b_n-a_nb_{0}} {b_n}}  {b_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +b_1x+b_0} \\ \\ &=\frac{a_n}{b_n}+\frac{c_{n-1}x^{n-1}+c_{n-2}x^{n-2}+\dots+c_{1}x+c_{0}}  {b_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +b_1x+b_0}\end{aligned}$$$$\lim_{x->\pm\infty}{\left(\frac{a_n}{b_n}+\frac{c_{n-1}x^{n-1}+c_{n-2}x^{n-2}+\dots+c_{1}x+c_{0}}  {b_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +b_1x+b_0}\right)}=\dots=\frac{a_n}{b_n}$$

---

Wie hast du dieses Monster so schnell rausgehauen?

Übel und beängstigend!

Da hättest du aber mit etwas weniger Schreibarbeit einfach nur Zähler und Nenner durch x hoch n teilen können...

---

Den Beweis habe ich schon verstanden. Aber das ist zu viel Schreibarbeit. Der Aufwand das zu schreiben, lohnt sich nicht.

https://www.mathelounge.de/580694/beweist-quotient-nennergrads-gebrochenrat-funktion-asymptote

Answer 2

Kürze mit t^2! Dann sieht man sofort, wohin die Reise geht. :)

Comments

Ja, klar. Das weiß ich auch. Aber geht das so nicht auch?

---

Vor allem schreibe ich doch noch:

c+(+∞)=+∞

c+(-∞)=-∞