Vereinfachung einer Menge. Umkehrfunktion von f(x) = x^2 - 1 ?

Question

$${ Vereinfachen\quad Sie\quad die\quad Menge:\quad f }^{ -1 }(]0,\infty [),\quad wobei\quad f:R\rightarrow R\quad mit\quad x\mapsto { x }^{ 2 }-1\\ \\ Ich\quad würde\quad im\quad Normalfall\quad die\quad Umkehrfunktion\quad bilden\quad und\quad dann\quad den\quad Intervall\quad ]0,\infty [\\ einsetzen,\quad nur\quad ist\quad f\quad nicht\quad injektiv,\quad also\quad gibt\quad es\quad doch\quad keine\quad Umkehrfunktion\quad oder\quad sehe\quad ich\quad das\quad falsch?$$

Answer 1

Hallo Anton,

https://de.wikipedia.org/wiki/Urbild_(Mathematik)

Nach dieser vom Begriff "Umkehrfunktion" unabhängigen Definition

f ^-1 (M) := { x∈M | f(x) ∈ M }

gilt

 f ^-1 ( ] 0 , ∞ [ )  =  ] - ∞ , -1 [  ∪  ] 1 , ∞ [

Gruß Wolfgang

Comments

Hallo Wolfgang,

also wäre die Lösung für

$$f^{ -1 }(]0,\infty [),\quad wobei\quad f:R\rightarrow R\quad mit\quad x\mapsto { x }^{ 2 }-1\\ \\ f^{ -1 }(]0,\infty [=\pm \sqrt { x+1 } =\quad ]-\infty ,-1[\quad \cup \quad ]1,\infty [ ?$$

Du hast bestimmt ausersehen [0, infty[ statt  ]0, infty[ benutzt.

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Ja, hatte die Klammer falsch gelesen (in der Antwort korrigiert)

f ^-1 ( ] 0 , ∞ [  =   ] - ∞ , -1 [ ∪ ] 1 , ∞ [

Aber die Schreibweise

f ^-1 ( ] 0 , ∞ [  = ± √(x + 1) = ] - ∞ , -1 [ ∪ ] 1 , ∞ [

macht keinen Sinn, weil eine Urbildmenge nicht gleich einem Funktionsterm sein kann.

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Ok, aber man muss ja vorher die Umkehrfunktion bilden um das Ergebnis ablesen zu können, sollte man dies Extra aufschreiben?

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Du kannst

f ^-1 ( ] 0 , ∞ [

          =  { y∈ℝ | y = ± √(x+1) mit x∈ℝ⁺}  =   ] - ∞ , -1 [ ∪ ] 1 , ∞ [

schreiben.

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Wäre eine Möglichkeit, danke dir

Answer 2

Hallo

 du sollst die Umkehrfunktion ja nur von 0<x<oo bilden, da existiert sie.

Gruß lul

Comments

Da steht aber f^{-1}(]0,unendlich[ ). Woher weiss man, dass mit dem Intervall die x-Werte gemeint sind. Ich hätte dort jetzt eher y-Werte erwartet.

Skizze:

~plot~ x^2-1;-1+sqrt(x);-1-sqrt(x) ~plot~

Wenn man nun wüsste, wie dieses Intervall genau gemeint ist.

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Hallo

 und wenn da, wie sonst üblich f^{-1}(x)  und dann das Intervall stünde?

 es steht ja auch nicht f^{-1}(f) da.

(aber 100% sicher bin ich nicht, nur über 90%)

Gruß lul

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Mmh aber Lu trifft es au den Punkt, sind es nun die x oder y Werte, die mit dem Intervall gemeint sind?

BTW danke für eure Antworten und sry, dass ich erst so spät Antworte.

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@ lul

Könntest du mir vlt erklären, warum es dann umkehrbar ist? Für mich ist die Aufgabe nicht lösbar, da es ja Werte des Defbereichs sind.?

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@lul

du sollst die Umkehrfunktion ja nur von 0<x<oo bilden
...
Für mich ist die Aufgabe nicht lösbar, da es ja Werte des Defbereichs sind.?

eigentlich ist doch in der Aufgabenstellung von "Umkehrfunktion" nicht die Rede.
(vgl. meine Antwort)

Gruß Wolfgang