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Warum das Quotientenkriterium nicht anwendbar ist
Das Quotientenkriterium wird üblicherweise verwendet, um die Konvergenz von Reihen der Form \(\sum a_n\) zu testen, indem es das Verhalten des Quotienten \(\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\) betrachtet. Für eine Reihe zu entscheiden, dass sie konvergiert, muss gelten, dass:
\(
\lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = L < 1
\)
Jetzt betrachten wir jede der gegebenen Reihen:
1. \( \sum \frac{1}{n} \)
2. \( \sum \frac{1}{n^2} \)
3. \( \sum 2^{(-1)^n - n} \)
1. \( \sum \frac{1}{n} \)
Für die harmonische Reihe \( \sum \frac{1}{n} \), berechnen wir den Quotienten \( \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \left| \frac{1/(n+1)}{1/n} \right| = \frac{n}{n+1} \), der sich zu 1 nähert, wenn \( n \) gegen unendlich geht. Das Quotientenkriterium ist unentscheidbar, wenn der Grenzwert 1 ist, weshalb es in diesem Fall nicht anwendbar ist. Die harmonische Reihe divergiert, wie durch den Vergleichstest oder das Integraltest bekannt ist.
2. \( \sum \frac{1}{n^2} \)
Für \( \sum \frac{1}{n^2} \), ist der Quotient \( \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \left| \frac{1/(n+1)^2}{1/n^2} \right| = \left( \frac{n}{n+1} \right)^2 \), der ebenfalls gegen 1 konvergiert. Obwohl das Quotientenkriterium hier nicht direkt anzeigt, dass die Reihe konvergiert, wissen wir aus der p-Reihe, dass \( \sum \frac{1}{n^p} \) für \( p > 1 \) konvergiert, womit auch diese Reihe konvergiert.
3. \( \sum 2^{(-1)^n - n} \)
Die Anwendung des Quotientenkriteriums auf diese Reihe ergibt eine nicht triviale Berechnung wegen der oscillierenden Natur von \( (-1)^n \). Dies kann die Analyse komplex und das Kriterium ungeeignet machen. Darüber hinaus führt der variable Exponent zu einem Ausdruck, dessen Grenzwert nicht leicht zu bestimmen ist, ohne eine detailliertere Untersuchung durchzuführen.
Alternative Konvergenztests
- Für \( \sum \frac{1}{n} \): Wie bereits erwähnt, ist bekannt, dass diese Reihe divergiert.
- Für \( \sum \frac{1}{n^2} \): Diese Reihe konvergiert nach dem p-Reihen Kriterium, da sie für \( p = 2 \) eine p-Reihe ist, die für \( p > 1 \) konvergiert.
- Für \( \sum 2^{(-1)^n - n} \): Eine Betrachtung der Terme zeigt, dass für \( n \) ungerade, \( (-1)^n = -1 \) und für \( n \) gerade, \( (-1)^n = 1 \). Die Reihe fluktuiert somit zwischen stark abnehmenden positiven und negativen Werten, aufgrund des Faktors \( -n \) im Exponenten, der die Basis exponentiell schrumpfen lässt. Ein sinnvoller Test hier wäre der Wurzel- oder Quotiententest, jedoch ist aufgrund der Exponenteneigenschaften und der alternierenden Natur direkt ersichtlich, dass die Terme gegen 0 konvergieren, wenn auch die Bestimmung der absoluten Konvergenz oder Divergenz durch den oscillierenden Charakter der Reihe komplexer sein kann.
In jedem Fall, die Anwendung der Quotientenkriteriums ist bei diesen Reihen entweder nicht möglich oder nicht informativ, weshalb alternative Konvergenzkriterien oder bekanntes Wissen über spezielle Reihen zur Anwendung kommen müssen.
