Begründe, dass l umkehrbar ist! l(x)=ln((5-x)/(x+2))

Question

Die Aufgabe:

Begründe, dass l umkehrbar ist!

l(x)=ln((5-x)/(x+2))

Hilfe wäre super habe jetzt selber spontan an e^x als Umkehrfunktion gedacht also praktisch e^{(5-x)/(x+2)}, so einfach wird es aber leider nicht sein... Muss ich zuerst nach x auflösen und das dann mit y tauschen? Wenn ja was ist x?

EDIT(Lu): Klammern um das Argument des Logarithmus ergänzt. 

Comments

Bitte stelle erst mal klar:

$$ln\frac{5-x}{x-2}$$ oder $$\frac{ln(5-x)}{x-2}$$?

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Wichtig wären Klammern. Meinst du wirklich

l(x)=ln(5-x)/(x+2)

https://www.wolframalpha.com/input/?i=ln(5-x)%2F(x%2B2)

oder vielleicht

l(x)=ln((5-x)/(x+2))

https://www.wolframalpha.com/input/?i=ln((5-x)%2F(x%2B2))

?

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Vielen Dank für die schnelle Antwort. Tatsächlich bezieht sich meine Frage auf die Aufgabe mit folgenden Klammern:

l(x)= ln((5-x)/(x+2))

Entschuldigung falls ich für Missverständnisse Sorge. Habe selber in Wolfram Alpha geschaut aber da steht ja keine Erklärung des Rechenwegs und die Aufgabe erfordert eine Begründung.

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Problem sollte behoben sein. Nun bitte einfach etwas Geduld.

Hier übrigens andere unbeantwortete Fragen https://www.mathelounge.de/unanswered Kann sein, dass da ein paar Duplikate darunter sind. 

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Und bedenke:  Umkehrbarkeit begründen heißt nicht:
die Umkehrfunktion bestimmen.

Ein Grund für Umkehrbarkeit auf einem Intervall als Definitionsbereich

ist zum Beispiel strenge Monotonie.

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Oh vielen Dank das war mir leider überhaupt nicht bewusst ich dachte Umkehrbarkeit steht hier für die Umkehrfunktion... jetzt bin ich schon mal einen Schritt weiter :)

Answer 1

ln((5-x)/(x+2)) ist nur im Intervall (-2 ; 5)  definiert, weil nur dort der Quotient positiv ist.

Die Funktion f(x)=(5-x)/(x+2) ist diesem Intervall streng monoton fallend, was sich leicht mit Betrachtung der ersten Ableitung in diesem Intervall oder durch Umformung in  f(x)= -1+ 7/(x+2) zeigen lässt.

Wenn (5-x)/(x+2) streng monoton fällt, fällt auch ln( (5-x)/(x+2)) streng monoton und ist somit umkehrbar.

(Ich sehe der Aufgabe nicht an, dass eine explizite Angabe einer Gleichung der Umkehrfunktion verlangt würde.)

Comments

Super ich kann jetzt nachvollziehen was überhaupt gemeint war ich habe die Aufgabe komplett falsch angegangen. Das mit der Monotonie als Beweis wusste ich nicht, ist aber verständlich für mich. Ich kann mich nur noch mal bei allen die hier kommentiert haben bedanken für die schnelle Hilfe. Das ist für mich extrem hilfreich!