Aufgabe:
a) Seien \( \left(a_{k}\right)_{k \in \mathbb{N}} \) und \( \left(b_{k}\right)_{k \in \mathbb{N}} \) Folgen in \( \mathbb{R} \) mit \( \lim \limits_{k \rightarrow \infty}\left(a_{k}+b_{k}\right)=0 \) und \( \lim \limits_{k \rightarrow \infty} a_{k} b_{k}=0 \)
Beweisen Sie, dass \( \left(a_{k}\right)_{k \in \mathbb{N}} \) und \( \left(b_{k}\right)_{k \in \mathbb{N}} \) Nullfolgen sind.
b) Finden Sie divergente Folgen \( \left(a_{k}\right)_{k \in \mathbb{N}} \) und \( \left(b_{k}\right)_{k \in \mathbb{N}} \) in \( \mathbb{R} \) mit \( \lim \limits_{k \rightarrow \infty}\left(a_{k}+b_{k}\right)=0 \)
Gibt es auch eine konvergente Folge \( \left(a_{k}\right)_{k \in \mathrm{N}} \) und eine divergente Folge \( \left(b_{k}\right)_{k \in \mathbb{N}} \) \( \operatorname{mit} \lim \limits_{k \rightarrow \infty}\left(a_{k}+b_{k}\right)=0 ? \)
c) Finden Sie divergente Folgen \( \left(a_{k}\right)_{k \in \mathbb{N}} \) und \( \left(b_{k}\right)_{k \in \mathbb{N}} \) in \( \mathbb{R} \) mit \( \lim \limits_{k \rightarrow \infty} a_{k} b_{k}=0 . \) Gibt es auch eine konvergente Folge \( \left(a_{k}\right)_{k \in \mathbb{N}} \) und eine divergente Folge \( \left(b_{k}\right)_{k \in \mathbb{N}} \) mit \( \lim \limits_{k \rightarrow \infty} a_{k} b_{k}=0 ? \)
Bisher habe ich folgende ideen gehabt:
a) $$\lim\limits_{x\to\infty}a_k b_k= \lim\limits_{x\to\infty}a_k * \lim\limits_{x\to\infty}b_k=0 \\\Longrightarrow \lim\limits_{x\to\infty}a_k=0 \lor \lim\limits_{x\to\infty}b_k=0 \\\lim\limits_{x\to\infty}(a_k+b_k)=\lim\limits_{x\to\infty}a_k +\lim\limits_{x\to\infty}b_k=0 \\\Longrightarrow \begin{pmatrix} a_k= -b_k \lor a_k=0\\b_k=-a_k \lor b_k=0 \end{pmatrix} \\\text{ Annahme: } \\ a_k=-b_k \lor b_k=-a_k \Longrightarrow (\lim\limits_{x\to\infty}-b_k*\lim\limits_{x\to\infty}b_k \neq0)\land(\lim\limits_{x\to\infty}a_k*\lim\limits_{x\to\infty}-a_k \neq0) \\\Longrightarrow a_k=0 \land b_k=0 \blacksquare$$
b) $$\lim\limits_{x\to\infty}(a_k+b_k)=0 \\a_k:=-i^k \land b_k:=i^k \\\Longrightarrow\lim\limits_{x\to\infty}(-i^k +i^k)=\lim\limits_{x\to\infty} (-\infty+\infty)=0 \\ \text{ Teil 2} \\ \lim\limits_{x\to\infty}a_k:= -a_\in\mathbb{N} \land b_k := i^k \\ \Longrightarrow \lim\limits_{x\to\infty}(-a+ \infty)= \infty \setminus (a) \neq0 \\ \Longrightarrow \text{ Es existiert keine konvergente Folge } a_k \text{ und divergente Folge } b_k \text{ sodass } \lim\limits_{x\to\infty}(a_k+b_k)=0 \text{ gilt.} \blacksquare$$
c) bei C fehlt mir jedoch keine beispiel von 2 divergenten folgen die zusammen multipliziert den grenzwert =0 ergeben. Bei part 2 dachte ich eine beliebige divergente folge zu nehmen und sie mit einer nullfolge zu multiplizieren.
Kann bitte jemand mir bei der Aufgabe c) helfen und die anderen Aufgaben überprüfen. Falls was nicht stimmt, könnt ihr mir bitte sagen, was genau und wie ich den Fehler behebe?
