Gruppenhomomorphismus: Seien α und β Abbildungen von ℤ nach ℤ, für alle z∈ℤ seien z^α = -z und z^β = -3.

Question

Ich versuche mich mit dem Thema Gruppenhomomorphismus auseinanderzusetzen, scheitere aber an folgender Beispielaufgabe:

Seien α und β Abbildungen von ℤ nach ℤ,  für alle z∈ℤ seien z^α = -z und z^β = -3.

Ich möchte beweisen, dass α ein Gruppenhomomorphismus von (ℤ,+) nach (ℤ,+) ist und ob β auch einer ist.

Answer 1

α ist einer, weil (ich schreib mal α(…)  statt hoch α ) gilt

α(x+y) = α(x) + α(y).  Prüfst du leicht durch

α(x+y) = -(x+y) = -x + (-y) = α(x) + α(y).

ß ist keiner; denn z.B. gilt

ß(1)= -3  und  auch ß(2)=-3

aber     -3 =  ß(2)=ß(1+1)

            -6 = ß(1? + ß(1)

aber -3 ≠  -6

Comments

Hallo mathef, wie wäre es denn, wenn z^β = z-3 wären. Wäre das dann (x+y)^β = (x)^β + (y)^β

(x+y)^β = (x+y)-3 = x+y-3 ≠ (x)^β + (y)^β  und somit kein Gruppenhomomorphismus?

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Sehe ich auch so.