Hallo Anna,
Ich habe Dir die Funktion \(L(t)\), die die Tageslänge in Abhängigkeit des Monats angibt, mal im Plotlux Plotter eingegeben - das ist die blaue Kurve.
~plot~ 12+6.24*sin((pi/6)x);[[-1|14|-5|24]];{0|12};{6|12};{12|12};(6.24*pi/6)*cos(x*pi/6) ~plot~
Die Funktion beginnt bei \(L(0)=12\) - d.h. am 21.März (\(t=0\)) ist der Tag in Stockholm 12h lang. Dies ist der astronomische Frühlingsanfang und damit der Tag im Frühjahr, an dem der Tag und die Nacht gleich lang sind. Im Sommer werden die Tage länger, bis zum Maximum am 21.Juni (\(t=3\)) - dem Tag der Sommersonnenwende. Hier beträgt die Tageslänge \(L(3)=18,24\text{h}\). Danach werden die Tage wieder kürzer usw.
Wann ändert sich in Stockholm die Tageslänge am schnellsten?
Mal angenommen, die blaue Kurve würde flach verlaufen. Dann würde sich die Länge eines Tages von einem Monat zum nächsten gar nicht ändern. Verläuft die Kurve steiler, dann ändert sich die Tageslänge zwischen den Monaten. Also die Frage ist doch: wo ist die Kurve am steilsten. Optisch ist das leicht zu beantworten: nämlich direkt bei \(t=0\) - also am 21.März und bei \(t=6\) um den 21.September herum. Ich habe Dir die Punkte im Graphen markiert.
Rein rechnerisch stellt man dies durch Bildung der Ableitung fest. Das konstante Glied am Anfang (die 12) entfällt. Für den Rest muss die Kettenregel angewendet werden. Es verbleibt: $$\begin{aligned} f(g) &= 6,24 \cdot \sin(g) \\ g(t)&=\frac{\pi}{6} t \end{aligned}$$ Also gilt es erst \(f\) nach \(g\) abzuleiten und das Ganze mit der Ableitung von \(g\) nach \(t\) zu multiplizieren: $$L'(t) = \frac{\partial f}{\partial g} \cdot g' = 6,24 \cdot \cos( \frac \pi 6 t ) \cdot \frac\pi 6 = 1,04 \pi \cos(\frac \pi 6 t)$$ diese Funktion wird durch den roten Graphen dargestellt. Und da dies die Kosinusfunktion ist, hat sie die größten Ausschläge wenn das Argument =0 oder \(=\pi\) ist - in diesem Fall wenn \(t=0\) und wenn \(\frac \pi 6 t = \pi\) bzw. \(t=6\) ist.
Falls noch Fragen offen bleiben, so melde Dich bitte.
Gruß Werner
