Gleichung des gesuchten Ortes in Baryzentrischen und in Kartesischen Koordinaten?

Question

Aufgabe: Gegeben sei ein Dreieck ABC: Man bestimme den Ort aller Punkte M für die gilt: die Fläche des Dreiecks AMC ist gleich der Fläche des Dreiecks BMC.

Bestimmen sie die Gleichung des gesuchten Ortes in Baryzentrischen und in Kartesischen Koordinaten.

Problem/Ansatz:

Mit dem gesuchten Ort nehme ich an ist der Punkt M gesucht.

Aber wie kann ich jetzt auf die Gleichung kommen?

Danke schon im Voraus für eure Hilfe!

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https://de.wikipedia.org/wiki/Seitenhalbierende

Answer 1

Hallo Waldbärchen,

mit baryzentrischen Koordinaten ist das sehr einfach. Ein Punkt \(P\) hat die baryzentrischen Koordinaten $$p = (A_{BCP}, A_{CAP}, A_{ABP})$$ wenn ein Punkt \(M\) so liegen soll, dass \(A_{CAM} = A_{BCM}\) ist, dann sind die Koordinaten von \(M\) $$m = (x,x,A-2x)$$

da die Summe der drei Koordinaten wieder die Fläche \(A\) des Dreiecks ergeben muss.

Zu den Kartesischen Koordinaten führe ich drei Vektoren \(u= \vec{CA}\), \(v=\vec{CB}\) und \(m=\vec{CM}\) ein.

 

Die Fläche der Dreiecke \(\triangle CAM\) und \(\triangle BCM\) berechnet sich dann aus: $$A_{CAM} = \frac12(u \times m) \\ A_{BCM} = \frac12 (m \times v)$$ was das 'verhinderte Kreuzprodukt' in \(\mathbb{R}^2\) sein soll. Lt. Voraussetzung sollen beide Flächen gleich sein - also: $$\begin{aligned} u \times m &= m \times v \\ u_x m_y - u_ym_x &= m_xv_y - m_y v_x \\ m_y(u_x + v_x) &= m_x( v_y + u_y) &&(1)\end{aligned}$$ diese Gleichung lässt sich nun auf zweierlei Weise interpretieren. Einmal löse ich nach \(m_y\) auf: $$m_y = \frac{ v_y + u_y}{u_x + v_x} m_x$$ was eine lineare Funktion in der Ebene darstellt. Es ist eine lineare Funktion durch den Punkt \(C\) mit der angegebenen Steigung.

Zum anderen setzen ich \(m_x = t \cdot (u_x+v_x)\). Einsetzen in \((1)\) gibt dann: $$m_y(u_x + v_x) = t\cdot (u_x+v_x)( v_y + u_y) \\ \implies m_y = t\cdot (v_y + u_y)$$ D.h. für den Vektor \(m\) $$\begin{pmatrix} m_x \\ m_y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} t \cdot (u_x+v_x) \\ t \cdot (v_y + u_y) \end{pmatrix} = t \begin{pmatrix} u_x+v_x \\ v_y + u_y \end{pmatrix} \\ \implies m = t \cdot (u+v)$$ Daraus folgt, dass der Vektor \(m\) jedes Vielfache der Summe \(u+v\) annehmen kann, und somit einer Gerade folgt, die u.a. durch den Mittelpunkt \(M_c\) von \(AB\) verläuft.  Wie oben auch der Skizze zu entnehmen ist.

Gruß Werner

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Antwort wegen der kartesischen Koordinaten erweitert.

Answer 2

Wenn man AC und BC jeweils als Grundseite betrachtet, dann ist der Abstand von M zu AC bzw. zu BC die Höhe des entsprechenden Teildreiecks.

Falls das Dreieck gleichschenklig ist mit AC=BC, dann müsste M auf der Mittelsenkrechten von AB liegen.

Ist aber beispielsweise AC>BC, dann müsste der Abstand von M zu AC kleiner sein als der Abstand von M zu BC, um trotzdem gleiche Flächeninhalte zu erhalten.

Sei d_AC der Abstand von M zu AC und d_BC der Abstand von M zu BC.

Es muss d_AC * AC = d_BC*BC und somit  d_AC/ d_BC= BC/AC gelten.

Falls M auf AB liegt, muss gelten

AM=AB*(BC/(AC+BC)) und MB=AB*(AC/(AC+BC)).

Alle übrigen möglichen Punkte M liegen auf einer Geraden durch C und diesen Punkt M auf AB.

PS: Ich beschrieb hier nur, welche Gerade man erhält, wenn M innerer Teilpunkt der Strecke AB ist. Für das gleiche Verhältnis gibt es auch noch einen äußeren Teilpunkt und damit eine zweite Gerade.

PPS: "Bestimmen sie die Gleichung des gesuchten Ortes" ist schon sehr witzig, das es unendlich viele Möglichkeiten gibt, ein Koordinatensystem mit Ursprungswahl und Achsenrichtungen zu positionieren.

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Aber wie komme ich dann schlussendlich auf die Gleichung?

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Das ist das Dreieck ...

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Ich weiß, wie ein Dreieck aussieht. Ist es ein beliebiges oder ein gleichschenkliges Dreieck? Sind deine Angaben vollständig, oder soll das Teildreieck ABM auch nich si groß sein wie die beiden anderen?.

Gibt es Vorgaben, wie das Koordinatensystem zu legen ist? (Ohne Koordinatensystem keine Gleichung.)