Question

Es sei e1, e2, e3 die kanonische Basis von R³. Finden Sie eine Matrix A ∈ R^3x3, sodass die lineare Abbildung LA : R³ → R³
(1, 2, 3) → (3, 2, 1), (2, 3, 4) → (5, 3, 1), (2, 4, 5) → (3, 2, 2) erfüllt.
Hinweis: Stellen Sie fur die Einträge von A ein lineares Gleichungssytem auf

Leider konnte ich aus gesundheitlichen Gründen letzte Woche nicht an der Vorlesung teilnehmen. Daher hackt es hier ein bisschen. Könnte mir einer beim lösen dieser Aufgabe behilflich sein?

Answer 1

Löse das Gleichungsystem

        \(\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\\2\\1 \end{pmatrix}\)

      \(\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 2\\3\\4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5\\3\\1 \end{pmatrix}\)

      \(\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 2\\4\\5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\\2\\2 \end{pmatrix}\)

Die Matrix \(A = \begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{pmatrix}\) ist dann die gesuchte Matrix.

Comments

Kann das als Lösung hin kommen?

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Ich habe \(A = \begin{pmatrix} 4&-5&3\cr 2&-3&2\cr 1&0&0 \end{pmatrix} \) heraus.

Kann das als Lösung hin kommen?

Mach die Probe.

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Mit der Probe komme ich genau auf die Vektoren die gesucht sind. :)

Es scheint wohl mehrere Lösungen zu geben.

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Wenn es mehr als eine Lösung geben würde, dann würdest du das beim Lösen des LGS merken.

Der tatsächliche Grund für die unterschiedlichen Lösungen ist, dass ich das Gleichungssystem falsch abgeschrieben habe ((5,3,2) anstatt (5,3,1)).

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Also ist mein oben gezeigtes Ergebnis richtig?

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Mit der Probe komme ich genau auf die Vektoren die gesucht sind. :)

Das ist das ausschlaggebende Kriterium, ob deine Lösung richtig ist oder nicht.

Falls du nicht sicher bist, ob du die Probe richtig gerechnet hast, dann verwende ein Computeralgebrasystem oder einen Taschenrechner, der Matrix-Vektormultiplikation kann.

Mich zu fragen hilft wenig, weil ich mich bei der Eingabe der Zahlen in den Rechner wahrscheinlich wieder vertippen werde :-)