Darstellungsmatrix von Drehung und Spiegelung: Bilder der Einheitsvektoren bestimmen

Question

Aufgabe:

Für den  R²  ; seien L1 und L2 die folgenden linearen Abbildungen  :

$$L _ { i } : \mathbb { R } ^ { 2 } \rightarrow \mathbb { R } ^ { 2 }$$ 

- L1 ist die Rotation um 180°  (Bogenmaß: π) im Uhrzeigersinn und

- L2 die Spiegelung an der x1-Achse.

Gesucht sind die Darstellungsmatrizen von:

a) L1 b) L2 c) L1 ◦ L2 d) L2 ◦ L1
e) Wie kann man L1 ◦ L2 und L2 ◦ L1 geometrisch beschreiben?

Tipp: Bestimmen Sie die Bilder \( L _ { i } \left( e ^ { ( j ) } \right) \) der Einheitsvektoren des R² und machen sie sich eine Skizze.

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Darstellungsmartix selbst basteln. L1 ist die Rotation um 180 grad (Bogenmaß: π) im Uhrzeigersinn

Stichworte: matrix,vektoren,rotation,uhrzeigersinn

Aufgabe:

Für den ℝ² seien L₁ und L₂ die folgenden linearen Abbildungen L_i : ℝ² -> ℝ²
1. L1 ist die Rotation um 180 grad (Bogenmaß: π) im Uhrzeigersinn und
2. L2 die Spiegelung an der x1-Achse.
Gesucht sind die Darstellungsmatrizen von L1, L2 & L1 ο L2

Problem/Ansatz:

Darstellungsmatriz für L1 = -1  1   & L2 = -1 -1  & L1 o L2 leider keine Ansatz

                                             0  0                1 -1

Ist mein Ansatz richtig? Wenn nicht, freue mich auf eine Vorschlag :))

Danke und Grüße!!

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Den Anfang habe ich vorhin schon beantwortet. Bitte die Suche benutzen und keine Duplikate einstellen.

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Vom Duplikat:

Titel: Rotation und Spiegelung linearen Abbildungen

Stichworte: lineare-abbildung,abbildung,bild,vektorraum,rotation

Aufgabe:

Für den R² seien L1 und L2 die folgenden linearen Abbildungen Li: R² → R².
L1 ist die Rotation um 180◦ (Bogenmaß:π) mit dem Uhrzeigersinn und L2 die Spiegelung an der x1-Achse.
Gesucht sind die Darstellungsmatrizen von
a) L1
b) L2
c) L1 ◦ L2
d) L2 ◦L1
e) Wie kann man L1◦L2 und L2◦L1 geometrisch beschreiben?
Tipp: Bestimme die Bilder $$L_{i} = (e^{(j)})$$ der Einheitsvektoren des R² und mache eine Skizze.

Problem/Ansatz:

Alles eigentlich! Die Abbildung L1 dreht sich um 180 Grad. Aber wenn sie rotiert, dann dreht sie sich doch einmal komplett um sich selbst, also um 360 Grad, or? L2 ist die Spiegelung an der x1-Achse, also ein Vektor der horizontal parallel zur x1-Achse verläuft?! Oder sind diese Positionen die Abbildungen. L1 und L2 sind gar nicht näher definiert. Das wird mir jetzt zu viel: Woher soll ich wissen wie L1 aussieht, wenn man nur weiß, dass es angeblich um 180 Grad rotiert.

Answer 1

L1 = [-1, 0; 0, -1]

L2 = [1, 0; 0, -1]

Im folgenden nehme ich die Definition, wie ich sie gelernt habe.

L1 ° L2 = [-1, 0; 0, -1]·[1, 0; 0, -1] = [-1, 0; 0, 1]

L2 ° L1 = [1, 0; 0, -1]·[-1, 0; 0, -1] = [-1, 0; 0, 1]

L1 ° L2: Geometisch ist das eine Spiegelung an der x-Achse und eine Anschließende Drehung um den Ursprung im Winkel von 180 Grad.

Comments

Wie versteht man das Semikolion bei [-1,0; 0,1]?? Ist das die Matrix der Form

$$\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$

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Genau. Das Semikolon trennt einfach nur die einzelnen Zeilen voneinander. Deine Matrix enthält allerdings versehentlich -1 statt 1.

Answer 2

Darstellungsmatriz für L1 = -1  0  & L2 =1 0 
                                            0  -1             0 -1

In die Spalten der Abbildungsmatrix gehören die Bildvektoren von (1,0) und (0,1) .

Mache dir eine Skizze und spiegle / drehe diese beiden Vektoren.

L1 ° L2

Multipliziere die Matrizen miteinander. Reihenfolge ist abhängig von der Definition von "Verknüpfung" in eurem Skript.