Beweise, Vektorräume

Question

Aufgabe:

Es seien V, W ⊆ R hoch n Vektorräume mit V ⊆ W. Es sei B_w eine Basis von W. Dann
gibt es eine Teilmenge B_v ⊆ B_w , die eine Basis von V ist.

Problem/Ansatz:

Kann mir bitte jemand erklären wie man das hier beweisen kann?

Ich habe leider überhaupt keine Idee...

Answer 1

Sei W = ℝ³ , V = ⟨(1 1 1)^T⟩ und B_W die Standardbasis von ℝ³.

Dann gibt es keine Teilmenge B_V ⊆ B_W, die eine Basis von V ist.

Comments

Danke für die schnelle Antwort!

Hatte ganz vergessen mit rein zu schreiben das wir die Aussagen Beweisen oder widerlegen sollen.

Das heißt die Behauptung hier stimmt nicht?

Und kannst du mir eventuell noch erklären wie du daraus folgendes schließt?

Dann gibt es keine Teilmenge Bv ⊆ Bw, die eine Basis von V ist.

Hab das Thema leider noch nicht so drauf.

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Hatte ganz vergessen mit rein zu schreiben das wir die Aussagen Beweisen oder widerlegen sollen.

Die Aussage aus der Aufgabenstellung ist so offensichtlich falsch, dass ich mir diesen Teil selbst leicht dazudenken konnte.

Dann gibt es keine Teilmenge B_v ⊆ B_w, die eine Basis von V ist.

Der Vektor (1 1 1)^T kann als Linearkombination der Standardbasis nur dargestellt werden indem alle Vektoren der Standardbasis addiert werden. Dann gilt aber B_V ⊆ B_W ⇒ B_V = B_W. Wegen V ≠ W muss aber B_V ≠ B_W sein.