Analysis: x in stetiger Funktion finden

Question

Wie gehe ich hierbei vor:

Seien f, g : ℝ → ℝ stetige Funktionen und sei f surjektiv und g beschränkt
(d.h es gibt ein K ∈ ℝ ≥0 mit −K ≤ g(x) ≤ K für alle  x ∈ ℝ). Zeigen Sie:  Es
gibt ein x ∈ ℝ mit f(x) = g(x).

Answer 1

Hallo Andi,

Da \(f\) surjektiv ist - d.h. den gesamten Wertebereich in \(\mathbb{R}\) abbildet, existieren zwei Werte \(a,b \in \mathbb{R}\) für die gilt$$f(a) \lt -K \quad \text{und} \quad f(b) > +K$$Man betrachte die Hilfsfunktion \(d(x) = f(x) - g(x)\). Nun gilt nach Vorgabe von \(a\) und \(b\) und wegen der Beschränktheit von \(g(x)\) $$d(a) \lt 0 \quad \text{und} \quad d(b) \gt 0$$ da \(d(x)\) stetig ist, folgt daraus, dass im Intervall \((a;b)\) - bzw. \((b;a)\) - mindestens eine Nullstelle \(x_0\) vorhanden sein muss. Für \(x_0\) gilt $$d(x_0) = 0 = f(x_0) - g(x_0) \\ \implies f(x_0)=g(x_0) \quad \text{q.e.d.}$$ Gruß Werner