Wie berechne ich nun den Geschwindigkeitszuwachs, wenn ich Motor 4 noch dazuschalte?
dies kommt darauf an, welches (physikalische!) Modell man dafür zu Grunde legt. Oder - anders ausgedrückt: was für ein Thema nehmt Ihr gerade durch?
Die Angabe des Herstellers ist, dass mit jedem zusätzlichen Motor das Boot um einen konstanten Betrag \(k\) schneller wird. D.h. die zu erreichende Geschwindigkeit \(v\) des Bootes soll sich proportional zur Anzahl \(x\) der Motoren verhalten: $$v = k \cdot x$$ Der Hersteller gibt für das \(k\) einen Wert von 10km/h an: \(v = 10 \text{km/h} \cdot x\). Nun stellt sich heraus, dass beides nicht ganz stimmt. Zum einem ist der Wert für \(k\) kleiner als 10km/h und \(k\) selbst wird kleiner mit wachsender Geschwindigkeit; ist also nicht konstant.
Betrachte zunächst die Werte selber. Ein Boot mit 9,88km/h legt in einer Stunde 9880m zurück. Ein Boot mit 9,89km/h dagegen 9890m. Das zweite Boot kommt nach einer ganzen Stunde Fahrt durch Wind, Wellen und ggf. Strömung nur 10m weiter. Vielleicht wiegt der Fahrer 10kg weniger? Du siehst jetzt vielleicht, dass die letzte Stelle bei der Geschwindigkeitsangabe mit Vorsicht zu genießen ist. Wenn man davon ausgeht, dass diese Werte Messwerte mit einer gewissen Ungenauigkeit sind, könnte man doch einen Wert für \(k\) errechnen, bei dem der mittlere Fehler zu den Messwerten möglichst klein ist.
Das nennt man eine Regressionsanalyse. Wichtig ist dabei, dass man ein Modell vorgibt. Das Modell ist hier die Annahme, dass die Geschwindigkeit propotional zur Anzahl der Motoren ist (siehe Formel \(v=k \cdot x\) oben). Der 'optimale' Wert für \(k\) soll der sein, bei dem die Summe aller Quadrate der Fehler möglichst klein wird. Und dafür gibt es eine Formel: $$k_{opt} = \frac{\sum x_i v_i}{\sum x_i^2} = \frac{(1\cdot 9,88 + 2\cdot 19,62 + 3\cdot 29,18)\text{km/h}}{1^2+2^2+3^3} \approx 9,76 \text{km/h}$$ Damit wäre das Boot mit 4 Motoren etwa \(v(4)=39,05\text{km/h}\) schnell. Und der größte Fehler läge bei \(v(1)=9,76\text{km/h}\) statt \(9,88\text{km/h}\) - also etwa 1,2%.
Betrachtet man das Modell selber, also die Annahme dass \(k\) konstant ist, so kommt man schnell darauf, dass dies von der Physik her nicht passen kann. Ein Auto mit 50PS und einer Höchstgeschwindigkeit von 120km/h schafft keine 240km/h, wenn man es mit einem 100PS starken Motor ausrüstet. Das liegt schlicht daran, dass der (Luft-)Widerstand mit wachsender Geschwindigkeit nicht konstant ist, sondern zunimmt. Beim Luftwiderstand ist die Zunahme sogar quadratisch.
Um dies zu berücksichtigen kann man das Modell erweitern zu: $$v = k \cdot x^e$$ bei einer linearen Zunahme des Widerstands wäre \(e=1/2\). Dafür gibt es auch Formeln, die aber komplizierter sind, als beim linearen Ansatz. Nur soviel: eine gute Näherung ist: $$v = 9,887 \text{km/h} \cdot x^{0,9862}$$ Damit wäre \(v(4)=38,80\text{km/h}\) und der größte Fehler läge bei \(v(2)=19,59\text{km/h}\) statt \(19,62\text{km/h}\) - also nur bei ca. 0,2%.
Ein Modell bei dem alle Messwerte exakt sind und die Geschwindkigkeit ein Polynom 3'ter oder 4'ter Ordung ist, macht physikalisch und praktisch keinen Sinn. Frage bitte nach, wenn irgendwas nicht klar ist, oder Du mehr darüber wissen möchtest.
