bin mir recht unsicher bei dem folgenden Beweis. Also die Aufgabe war: "Beweisen Sie mit vollständiger Induktion über nach n:
$$Ist~p~prim~und~n \in \mathbb{N},~so~ist~n^{p}-n~durch~p~teilbar$$
Ich habe das so gemacht:
Induktionsanfang: $$n=1,~n^{p}-n = 1^{p}-1 = 0~durch~p~teilbar$$
Induktionsschritt:
$$(n+1)^p - (n+1) = \sum_{k=0}^{p} \binom{p}{k}n^{p-k} - (n+1)$$
$$= n^p + \sum_{k=1}^{p} \binom{p}{k}n^{p-k} - (n+1)$$
$$= (n^{p}-n) + \sum_{k=1}^{p} \binom{p}{k}n^{p-k} - 1,~(n^{p}-n~nach~Ann.~durch~p~teilbar)$$
$$= (n^{p}-n) + \sum_{k=1}^{p-1}\frac{p!}{k!(p-k)!}n^{p-k}$$
$$= (n^{p}-n) + p \sum_{k=1}^{p-1}\frac{(p-1)!}{k!(p-k)!}n^{p-k}$$
Also sind beide Summanden durch p teilbar und somit auch $$(n+1)^p - (n+1)$$.
Wo ich mir unsicher bin, ist bei der Summe in der letzten Zeile. Eigentlich müsste ich ja sichergehen, dass diese immer ganzzahlig ist, damit sie wirklich durch p teilbar ist, oder? Und dass p prim ist, habe ich in den Beweis ja quasi gar nicht eingebracht, ausser, dass ich annehmen, dass n^p - n durch p teilbar ist.
Hmm, ist das irgendwie irgendwo korrekt?
Danke
Thilo
