Extremwertaufgabe mit Nebenbedingung: Kantenmodell Säule mit Stoff bespannen

Question

Folgende Aufgabe bringt mich gerade zur Weißglut... Entweder ich habe irgendwo einen ganz blöden Denkfehler, oder die Aufgabe ist schlicht und einfach nicht lösbar.

Aufgabe:

Aus 1m Draht soll das Kantenmodell einer quaderförmigen Säule mit quadratischer Grundfläche hergestellt werden. Diese soll anschließend zur Dekoration mit Stoff bespannt werden. Bestimme die Abmessungen, für die möglichst wenig Stoff benötigt wird.

Ansatz:

Nebenbedingung: \( l = 100\textrm{cm} = 8a + 4b  \Rightarrow b = 25-2a \)

Oberfläche der Säule \(O = 2a^2 + 4ab\)

Einsetzen der Nebenbedingung: \(O = 2a^2 + 4a(25-2a) = 2a^2 + 100a-8a^2 = -6a^2+100a\)

Wie soll ich da ein Minimum der Oberfläche bestimmen, wenn der quadratische Term ein negatives Vorzeichen hat?

Ergänzung:

Ableitung: \(O‘ = -12a +100\)

Extremstelle suchen: \(0 = -12a +100 \rightarrow a=\frac{12}{100}\)

Das ist aber leider das Maximum und nicht das Minimum der Oberfläche...

Weitere Ideen?

Comments

Minimum/Maximum heißt 1. Ableitung gleich null setzen.

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Die Aufgabe gab es hier schon oft. Benutze die Suchfunktion.

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Stimmt, das mit der Ableitung war blöd.

Aber selbst die Ableitung liefert ja kein Minimum, sondern nur ein Maximum...

Ideen?

Und ja ähnliche Aufgaben habe ich gesehen, aber nicht genau diese hier, und die anderen Lösungen haben mir nicht geholfen.

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Vielleicht ist das einfach nur ein Versehen des Aufgabenstellers.

Ansonsten könnte man nur sagen:

Ein lokales Maximum im Inneren des Definitionsbereiches,

also Minima eventuell am Rande.

In der Nähe von a=0 ist die Oberfläche ziemlich klein,

nahe 0.

a=0 selber macht ja wohl keinen Sinn.

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Steht da explizit, dass die ganze Säule mit Stoff bespannt wird? Git es vielleicht einen HInweis, dass Boden- und Deckfläche nicht bespannt werden?

Ich nehme nicht an, dass das etwas an der Lösbarkeit ändert.

Answer 1

Aus 1m Draht soll das Kantenmodell einer quaderförmigen Säule mit quadratischer Grundfläche hergestellt werden. Diese soll anschließend zur Dekoration mit Stoff bespannt werden. Bestimme die Abmessungen, für die möglichst wenig Stoff benötigt wird.

NB:

K = 8·a + 4·b = 100 cm --> b = 25 - 2·a

Definitionsbereich für a ist damit a ∈ ]0 ; 25/2[

HB:

O = 2·a^2 + 4·a·b = 2·a^2 + 4·a·(25 - 2·a) = 100·a - 6·a^2

y = 100·a - 6·a^2 ist eine nach unten geöffnete Parabel bei der es nur ein Maximum gibt.

~plot~ 100x-6x^2;[[0|20|0|500]] ~plot~

O' = 100 - 12·a = 0 --> a = 25/3

b = 25 - 2·25/3 = 25/3

Für a = b = 25/3 hat das Kantenmodell eine maximale Oberfläche.

Für a = 0 wird die Oberfläche minimal (= 0). Dann hat man aber eine entartete quadratische Säule, die sicher nicht zählt.

Es gibt also kein bestimmtes a für welches die Oberfläche minimal wird.

Answer 2

O(b)=-3b²/2+25b+625/2

Es gibt tatsächlich nur ein Maximum (Würfelform mit allen Kantenlängen 25/3.

Außerdem gibt es ein Randminimum für die Säulenhöhe =0 und eins für die Grundkante =0.