Warum ist 1/19 periodisch ?

Question

Es wird mir angeben das 1/19 periodisch sein soll als Dezimalzahl, aber warum ? Da wiederholt sich doch nichts ?

Comments

\(\dfrac{1}{19}=0.\overline{052631578947368421}\)

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Gibt es ein Merkmal, Warum ist sie denn periodisch ?

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Vielleicht weil 19 eine Primzahl ist.

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Alle Brüche 1/p mit p=Primzahl sind perioisch. Die Länge der Periode ist ein Teiler von p-1.

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@Roland:

1/2 = 0.5

1/5 = 0.2

Wie geht das genau?

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Hallo Lu,

schlau, wie du bist hast du natürlich die beiden einzigenFälle gefunden, in denen meine Behauptung nicht stimmt  Außer, man schreibt hinter deine beiden Lösungen noch "periode 0".

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Sagen wir vielleicht noch, weshalb "die Periode 000000..." herauskommt. 2 und 5 sind die einzigen Primfaktoren von 10.

Answer 1

Ich nehme mal 1/7 , damit das nicht zu viel Platz braucht.

1 : 7 = 0,

1

-------------------

1 : 7 = 0,1 

10              | 0 herunternehmen

-7

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3

---------------------

1 : 7 = 0,142857
10              | 0 herunternehmen
-7
-----
30          | 0 herunternehmen

-28

------

20

-14

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60

-56

--------

40

-35

------

50

-49

--------

10                    irgendwann kommt wieder der gleiche Rest wie schon vorher.

Ab jetzt wiederholen sich die Kommastellen. 

D.h. 1 : 7 = 0,142857142857142857142857142857142857142857142857142857142857142857...

Nun zu 1/19.

Wenn du durch 19 teilst, können 18 von Null verschiedene Reste auftreten. D.h. die Periodenlänge ist maximal 18. 

Answer 2

Es wird mir angeben das 1/19 periodisch sein soll als Dezimalzahl, aber warum ? Da wiederholt sich doch nichts ?

$$\dfrac{1}{19}=0.\overline{052631578947368421}$$

D.h. du hast 18 Ziffern in der Periode. Das kannst du mit einem Taschenrechner eben nicht mehr sehen.

Damit ein gekürzter Bruch eine periodische Dezimalzahl ist, muss die Primfaktorzerlegung des Nenners mind. einen Primfaktor ungleich 2 oder 5 aufweisen.

Abbrechend ist ein gekürzter Bruch, wenn die Primfaktorzerlegung des Nenners nur die  Primfaktoren 2 und 5 aufweist.

Answer 3

Es wird mir angeben, dass 1/19 periodisch sein soll als Dezimalzahl, aber warum? Da wiederholt sich doch nichts?

Ich habe vor ein paar Tagen mit einem Taschenrechner gearbeitet, der – je nach Einstellung – das Ergebnis einer Division oder die Umwandlung einer Bruchzahl unter expliziter Angabe der Periode anzeigen konnte. Bei großer Periodenlänge (hier zum Beispiel 19-1=18) lässt sich das in der üblicheren Darstellung als Dezimalbruchentwicklung bei begrenzter Stellenanzahl natürlich nicht mehr nachvollziehen. Vor diesem Hintergrund ist die Frage gut!