Begründen der Additionstheoreme (für x = y), dass gilt: cos(x•/4) = \( \frac{1}{2} \)\( \sqrt{2+\sqrt{2}} \)

Question

Sei π/2 := x_• die kleinste positive Nullstelle der Cosinus-Funktion. Begründen Sie mit Hilfe der Additionstheoreme (für x = y), dass gilt:

cos(x_•/4) = \( \frac{1}{2} \)\( \sqrt{2+\sqrt{2}} \)

Answer 1

  cos( x/2 ) = 1/√2       findest du  dort:

https://www.mathelounge.de/604409/begrunden-sie-hilfe-additionstheoreme-dass-gilt-frac-sqrt

  Und aus dem Add.theorem folgt:

           cos( x/2) = cos( x/4  +   x/4 )  = cos( x/4) * cos( x/4)  - sin( x/4)  * sin( x/4)

also mit sin ^2 + cos^2 = 1 auch

                      1/√  2               = cos^2 ( x/4)   - (1 - cos^2( x/4)  )

<=>          1/√  2               = cos^2 ( x/4)   - 1 + cos^2( x/4)

<=>       1 +    1/√  2               = 2cos^2 ( x/4)

<=>      ( 1 +    1/√  2   ) / 2             = cos^2 ( x/4)

<=>          (  2 + √ 2     ) / 4           = cos^2 ( x/4)  also für den pos. Wert

cos( x/4 = (1/2)*√ (  2 + √ 2     )

Answer 2

Es ist cos(x/4) zu bestimmen, wobei x=π/2, also geht es um cos(π/8).

cos(π/8+π/8)= cos(π/4). Die linke Seite nach den Additionstheoremen umgeformt:

cos²(π/8) - sin²(π/8)=cos(π/4) und wegen sin²(α)=1-cos²(α):

cos²(π/8)+1+cos²(π/8)=cos(π/4) umgeformt zu

cos(π/4) -1=2·cos²(π/8)

Wir setzen cos(π/4)=√2/2 als bekannt voraus (leicht mit der Diagonale eines Einheitsquadrates herzuleiten):

√2/4-1/2=cos²(π/8) und - wegen1/2=2/4 - nach Ziehen der positiven Wurzel:

1/2·√(√2-2)=cos(π/8)