Ableitung eines Integrals

Question

Aufgabe:

f(x) = x \( \int\limits_{1}^{x} \) \( \frac{sin(t)}{t} \) dt

Bestimmen sie f'(x)

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand erklären warum die Lösung hier f'(x) = x \( \int\limits_{1}^{x} \) \( \frac{sin(t)}{t} \) dt + sin(x) ist.

Ich gehe davon aus ich wende hier die Produktregel an somit komm ich schon mal auf den ersten Summanden der Lösung allerdings verstehe ich nicht wie man hier auf sin(x) kommt. Bei der Ableitung des Integrals komme ich nicht auf sin(x) sondern auf \( \frac{sin(x)}{x} \) - \( \frac{sin(1)}{1} \)

Answer 1

Bei der Ableitung des Integrals komme ich nicht auf sin(x) sondern auf \( \frac{sin(x)}{x} \) - \( \frac{sin(1)}{1} \)

Das stimmt nicht.

Stell dir vor, du hättest eine Stammfunktion F(t) .

Dann wäre das Integral  F(x) - F(1)

und F(1) ist eine Konstante, die beim Ableiten wegfällt, du

hast also als Ableitung F ' (x) = f(x)  hier also    sin(x) / x und mit dem

Faktor x davor kürzt sich das zu   sin(x).

Answer 2

Produktregel:

u=x   u'=1

v=∫(von 0 bis x) sin(t)/t · dt    v'=sin(x)/x

u'·    v                               + u·     v'

1·∫(von 0 bis x) sin(t)/t · dt + x·sin(x)/x