Mit Induktion zeigen, dass xn > 1 für rekursive Folge mit xn+1 := (5xn -2) / (2xn + 1)

Question

Die Folge (xn)n∈ℕ mit Startwert x1 = 2 sei rekursiv definiert durch:

xn+1 := (5xn -2) / (2xn + 1)

a) beweisen sie per Induktion, dass xn>1 für alle n∈ℕ ist.

b)beweisen sie, dass die Folge monoton fallend ist.

c)beweisen sie, dass die Folge konvergiert und bestimmen sie den Grenzwert.

Das ist eine alte klausuraufgabe die ich gerne zum üben nutzen wollte. Jedoch habe ich keine musterlösung.

und bei der a) komme ich mit dem induktionsschritt nicht zurecht...

für den IA habe ich n=2 gewählt. im IS versuche ich n = n+1 zu zeigen... aber klappt irgendwie nicht ganz

in b) zeige ich xn+1 < xn

für c) sollte ich doch aus a) die schranke und aus b die monotonie entnehmen können wodurch ich doch die konvergenz gezeigt habe oder? für den grenzwert würde ich die folge nach x auflösen..

Fänds klasse wenn mir jemand alle Aufgaben lösen kann

Comments

Hallo

 a) bei xn<=1 solltest du zusätzlich  zeigen xn<=2 also die Induktion darüber machen. einfach im Nenner die größer Zahl einsetzen im Zähler die kleinere dann hast du eine klare Abschätzung.

 oder multiplizier mit dem Nenner dann hast du xn+1*xn

b) und c) wie du sagst. GW ist 1. Folge nach x auflösen ist mir nicht klar schreibe xn=xn+1=g und löse die quadratische Gleichung .

Gruß lul

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so ?

wie meinst du das bei der a ? da war ich immernoch unsicher

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Hallo

ich wollte xn<=2 benutzen xn>2 ist ja schon für n=1,2 falsch?

Der Rest sieht gut aus.

Gruß lul

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tut mir leid ich komme nicht drauf... kannst du mir zeigen wie in diesem fall der Induktionsschritt gemacht werden muss ?

lg

Answer 1

Du kannst Teil (a) beispielsweise so zeigen:
Behauptung: Für alle \(n\ge1\) gilt \(1\le x_n\le2\).
Bemerkung: Die Aussage ist äquivalent zu \((x_n-1)(x_n-2)\le0\).
Beweis per Induktion über \(n\).
Induktionsanfang: Klar für \(n=1\).
Induktionsschritt: Falls die Aussage für ein \(n\ge1\) gilt, dann ist nach Rekursionsformel$$(x_{n+1}-1)(x_{n+1}-2)=\frac{3(x_n-1)(x_n-4)}{(2x_n+1)^2}\le0.$$

Answer 2

Den Zähler  (5x_n -2) kannst du als (5x_n +2,5-2,5 -2)= (5x_n +2,5-4,5) schreiben.

Aus dem Bruch (5x_n -2)/(2x_n+1) wird somit  (5x_n +2,5-4,5)/(2xn+1)= 2,5  -  4,5/(2x_n+1).

Wenn x_n ≥ 1 gilt, folgt (2x_n+1)≥ 3 und somit  4,5/(2x_n+1) ≤1,5.

Damit ist auch  2,5 -  4,5/(2x_n+1)≥ 1.