Verständnisproblem bei Aufgabe - Matrix-Determinante

Question

Aufgabe :

Es seien A, B zwei reelle quadratische Matrizen, so dass A ungleich 0, B ungleich 0 und AB = 0 gilt.
Zeigen Sie, dass dann auch det(A) = det(B) = 0 gilt

Frage :

Wie ist das mit der 0 gemeint(1.Satz, nicht der 2.)

Bei der Matrixmultiplikation kommt doch nur eine weitere Matrix raus und kein Wert ?!

Answer 1

Die 0 ist dann eben die 0-Matrix, also eine, deren

Einträge alle 0 sind.

Beweis vielleicht so:   Anzahl der Zeilen und Spalten

von A und B sei n.

Angenommen es wäre eine der Determinanten nicht 0

( o:B.d.A) etwa det(B) ≠ 0.

Dann ist B regulär, also   bilden die Spalten von B eine

Basis von R^n . Nennen wir diese Vektoren v1, .., vn .

Sei nun i ∈ {1,...,n} und x1,...,xn die Einträge in der

i-ten Zeile von A. Dann gilt

x1*v1+...+xn*vn = 0

Denn die Produktmatrix ist ja die Nullmatrix.

Wegen der lin. Unabhängigkeit von v1, .., vn

gilt also x1= =xn=0.

Also besteht die i-te Zeile von A aus lauter 0en.

Da dies für jedes i∈ {1,...,n} gilt, ist also A die

Nullmatrix im Widerspruch zur Voraussetzung.

Also sind beide Determinanten 0.   q.e.d.