Geometrische Vielfachheit des Eigenwerts 2 der Matrix M_a,b

Question

Aufgabe:

Bestimmen sie die geometrische Vielfachheit des Eigenwerts 2 der Matrix M_a,b in Abhängigkeit von a und b

$$M _ { a , b } = \left( \begin{array} { c c c } { - 3 } & { 0 } & { 0 } \\ { 2 a } & { b } & { a } \\ { 10 } & { 0 } & { 2 } \end{array} \right)$$

Problem/Ansatz:

Wie man Eigenwert und Eigenvektor bestimmt weiß ich.

Ebenso weiß ich wie das mit der algebraischen/geometrischen Vfh. funktioniert, nur habe ich Verständnisprobleme bei dieser Aufgabe.

Answer 1

Die geometrische Vielfachheit ist die Dimension des Eigenraums.

Du muss also die Dimension des Lösungsraumes von

(M - 2*E)*x = 0 bestimmen.  Das gibt die Matrix

-5     0      0
2a   b-2    a
10     0      0

1. Zeile mal 2 zur 3. addiert gibt

-5     0      0
2a   b-2    a
 0     0      0

Du hast also jedenfalls x1=0 und

     (b-2) * x2 + a*x3 = 0

1. Fall   b=2 und a≠0   gibt

         x2 beliebig  und x3=0

Also sehen alle Lösungen dann so aus:

    ( 0;t;0) mit t∈ℝ  , also dim(L)=1 somit

geometrische Vielfachheit 1.

2. Fall   b=2 und a=0   gibt

  x2 beliebig  und x3 beliebig 
 Also sehen alle Lösungen dann so aus:    ( 0;t;s) mit t,s∈ℝ  , 
also dim(L)=2 somit geometrische Vielfachheit 2.

3.  Fall   b≠2 gibt  
x2 = -a*x3 / (b-3)    und x3 beliebig  
Also sehen alle Lösungen dann so aus:    ( 0;  -as/(b-2) ;s) mit s∈ℝ  , 
also dim(L)=1 somit geometrische Vielfachheit 1.

Answer 2

"Wie man Eigenwert und Eigenvektor bestimmt weiß ich."

Super. Dann fang schon mal an, die Eigenwerte und -vektoren zu berechnen.

Was erhältst du?

(Zum Vergleich: ein EW ist positiv, einer negativ und einer von einem der beiden Parameter abhängig.

Über den Rest reden wir dann.

Comments

Ich dachte, dass ich mit dem gegebenen Eigenwert rechnen soll (?)

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Ja, aber für die Vielfachheit wirst du auch die beiden anderen brauchen.

Machen wir es kurz:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=((-3,0,0),(2a,b,a),(10,0,2))

liefert drei Eigenvektoren.

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Für die geometrische Vielfachheit werden die anderen Eigenwerte nicht benötigt.