Wirtschaftsmathematik, Gesamtkosten, Mengeneinheiten

Question

Aufgabe:

In der Betriebsabteilung eines Industriebetriebes werden nachstehende Gesamtkosten K in Geldeinheiten ( 1 GE = 1000 €) für x Mengeneinheiten (!ME = 1000 Stück).

ME      x        0      1      2      3

GE      K(x)   18    44    56    60

Der Verlauf der Gesamtkosten K lässt sich durch eine Funktion 3. Grades beschreiben. Der Erlös je ME beträgt 20 GE.

a) Wie lautet die Gleichung der Gesamtkostenfunktion und der Erlösfunktion?

b) Berechne die Nutzenschwelle und Nutzengrenze unter der Bedingung, dass die Gesamtkostenfunktion

K(x) = x³ - 10x² + 35x + 18 lautet!

Problem/Ansatz:

Aufgabe a) Erlös = Preis * Menge

Gewinn = Erlös - Kosten

G(x) = E(x) - K(x)

aber wie komme ich damit zu einer Gleichung? Wie muss ich die Zahlen einsetzen?

Aufgabe b) Die Nutzenschwelle ist der 1 Schnittpunkt zwischen E(x) und K(x)

Das muss ich jetzt irgendwie gleichsetzen, aber wie?

Die Gewinnschwelle ist der 2. Schnittpunkt zwischen E(x) und K(x).

Wie gehe ich da ran?

Erbitte Hilfe mit Erklärung.

Answer 1

für eine Polynomfunktion 3. Grades (\(ax^3+bx^2+cx+d\)) werden 4 "Bedingungen" gebraucht, die du aber aus der Tabelle entnehmen kannst.

Sie lauten:

K(0)=18
K(1)=44
K(2)=56
K(3)=60

Setzt du nun jeweils die x-und Funktionswerte in die obrige Gleichung ein, so erhältst du ein LGS mit 4 Unbekannten (in diesem Fall sogar nur 3), dass du dann z.B. mit dem Gauß-Algorithmus lösen kannst.

Sprich:

\(K(0)=18 \longrightarrow a\cdot 0^3+b\cdot 0^2+c \cdot 0 +d=18 \Longrightarrow d=18\\ K(1)=44 \longrightarrow a\cdot 1^3+b\cdot 1^2+c \cdot 1 +d=44 \Leftrightarrow a + b + c  = 26\\ K(2)=56 \longrightarrow a\cdot 2^3+b\cdot 2^2+c \cdot 2 +d=56 \Leftrightarrow 8a + 4b + 2c = 38 \\ K(3)=60 \longrightarrow a\cdot 3^3+b\cdot 3^2+c \cdot 3 +d=60 \Leftrightarrow 27a + 9b + 3c = 42\)

Answer 2

Nachdem du die Kostenfunktion ermittelt hast (s. Larrys Antwort), ziehst du sie von der Erlösfunktion E(x) = 20x ab:

$$g(x)=20x-(x^3-10x^2+35x+18)$$

Jetzt must du nur noch die Klammer auflösen und zusammenfassen.

Wie du schon richtig schriebst, musst du für die Nutzungsschwelle-/Grenze, die Schnittpunkte berechnen. Dazu setzt du die beiden Funktionen gleich:

$$20x=x^3-10x^2+35x+18\\ x^3-10x^2+15x+18=0$$

Durch Probieren oder den Graphen siehst du eine Schnittstelle bei x = 3. Jetzt kannst du z.B. durch Polynomdivision oder Horner-Schema die anderen beiden Nullstellen ermitteln. Der erste Schnittpunkt im positiven Bereich ist die Nutzungsschwelle, der zweite die Grenze.

Gruß, Silvia