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Beweis von \(x^n x^m = x^{n+m}\)
Um den Beweis vollständig zu führen, dass \(x^n x^m = x^{n+m}\) für alle \(n, m \in \mathbb{Z}\) und \(x \in \mathbb{R}\) (mit der Einschränkung, dass \(x \not= 0\) falls \(n < 0\) oder \(m < 0\)), müssen wir verschiedene Fälle betrachten. Dein Beweis durch vollständige Induktion für den Fall \(n \ge 0\) und \(m \ge 0\) ist ein wichtiger Teil, aber nicht der einzige Fall, der betrachtet werden muss.
Warum sind andere Fälle notwendig?
Die Regel \(x^n x^m = x^{n+m}\) gilt für alle ganzen Zahlen \(n\) und \(m\), nicht nur für nichtnegative ganze Zahlen. Dein Beweis deckt nur die Situation ab, in der sowohl \(n\) als auch \(m\) nichtnegativ sind. Dies entspricht nur einem Teil der ganzen Zahlen. Wir müssen auch die Fälle betrachten, in denen \(n\) oder \(m\) (oder beide) negativ sind, um sicherzustellen, dass die Regel universell gilt.
Bedeutung des zweiten Falles (\(n > 0\) und \(m = -k\))
1.
Fall \(n \ge 0, m \ge 0\): Diesen Fall hast du bereits durch vollständige Induktion bewiesen. Damit haben wir gezeigt, dass die Regel für nichtnegative \(n\) und \(m\) gilt.
2.
Fall \(n > 0\) und \(m = -k\) mit \(0 < k \le n\): Dieser Fall wird benutzt, um zu zeigen, dass die Regel auch gilt, wenn einer der Exponenten negativ ist, d.h., wenn du die Multiplikation einer Zahl mit ihrer reziproken Zahl betrachtest. Dieser Fall ist wichtig, weil er den Umgang mit negativen Exponenten behandelt, was nicht direkt aus dem ersten Fall (vollständige Induktion) abgeleitet werden kann.
Beispiel für den zweiten Fall: Angenommen, \(n = 3\) und \(m = -2\). Hierbei wäre \(x^3 x^{-2} = x^{3-2} = x^1 = x\). Die Gleichung zeigt, dass du eine Zahl dreimal mit sich selbst multiplizierst und dann durch das Quadrat der Zahl dividierst (da \(x^{-2} = 1/x^2\)), was dem Multiplizieren der Zahl mit sich selbst einmal entspricht.
Die Aufnahme des zweiten Falls in deinen Beweis ermöglicht es, die allgemeine Gültigkeit der Regel \(x^n x^m = x^{n+m}\) zu demonstrieren, denn sie zeigt, wie die Regel auch für Fälle gilt, in denen einer der Exponenten negativ ist. Nachdem du diese beiden Fälle behandelt hast, solltest du ebenfalls überlegen, wie du Situationen beweisen kannst, in denen sowohl \(n\) als auch \(m\) negativ sind.
Durch die Abdeckung aller dieser Fälle kannst du sicherstellen, dass dein Beweis vollständig ist und die Regel \(x^n x^m = x^{n+m}\) für alle ganzzahligen Werte von \(n\) und \(m\) und für alle reellen Zahlen \(x\) (außer \(x = 0\) bei negativen Exponenten) gilt.
