4x2-5x3=11 was ist davon die Normalengleichung?

Question

Wie kann man diese Ebene in die Normalengleichung umwandeln? Weil eigentlich mache ich immer x2=x3=0 aber das geht ja hier nicht.

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Vom Duplikat:

Titel: Normalengleichung der Ebene E: 4x2-5x3= 11

Stichworte: vektoren,ebene,normalengleichung

Eigentlich rechne ich immer so, das x2 und x3 Null sind. Aber hier funktioniert es nicht weil es ja gar kein x1 gibt. Kann mir jemand sagen wie ich vorgehen soll?

Answer 1

Dein x1 gibt es schon, nur wird sie mit einer 0 multipliziert ;)

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aber wie muss ich es nun lösen?

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Ein Normalenvektor deiner Ebene ist (0 | 4 | -5).

Du musst ihn noch normieren.

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Also wäre es nun ja -11=5x3

Das würde dann -2.2 geben?

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Ja. Der Punkt (0 |0 | -2.2) liegt in der Ebene E.

Du meinst vermutlich diese Form der Ebenengleichung: https://de.wikipedia.org/wiki/Normalenform#Normalenform_einer_Ebenengleichung Beispiel: https://www.abiturma.de/mathe-lernen/geometrie/geometrische-objekte/normalenform-einer-ebene

Wenn du die Hessesche Normalenform der Ebenengleichung angeben sollst, muss du den Normalenvektor noch auf die Länge 1 bringen (=normieren).

Answer 2

4x2 - 5x3 = 11

Das gibt den Normalenvektor  z.B.

4
-5
0

und ein Punkt wäre z.B. ( 0; 1/4 ; -2 ).

Answer 3

E: 4·y - 5·z = 11

y = 4 und z = 1 erfüllen die Gleichung

Normalengleichung

E: (X - [0, 4, 1])·[0, 4, -5] = 0

Answer 4

\(E: \begin{pmatrix}0\\ 4\\ -5\end{pmatrix}\circ\left [\vec{x}-\begin{pmatrix}a_x\\ a_y\\ a_z\end{pmatrix} \right ]=0\)

wobei du die Komponenten des Vektors a so wählen musst, dass die Ebenengleichung in Koordinatenform erfüllt ist.

Z.B. \(0+4\cdot 3 -5\cdot x=11 \rightarrow x=\dfrac{1}{5}\)

Somit lautet ein möglicher Ortsvektor: \(\vec{a}=\vec{x}-\begin{pmatrix}0\\ 3\\ 0.2\end{pmatrix}\) und eine mögliche Ebenengleichung in Normalenform:

\(E: \begin{pmatrix}0\\ 4\\ -5\end{pmatrix}\circ\left [\vec{x}-\begin{pmatrix}0\\ 3\\ 0.2\end{pmatrix} \right ]=0\)