Maximaler Definitionsbereich der Funktion

Question

Aufgabe:

$$f(x) = ( \frac{4}{\sqrt{x(2a-x)}} )$$

Problem/Ansatz:

Der Nenner darf nicht null werden und die Wurzel muss größer oder gleich null sein.

Das ist mein Ansatz.

Nun kann ich doch sagen, dass mein Definitionsbereich gilt für D= R \ { 2a , 0 } .

Stimmt das?

Answer 1

x·(2·a - x) > 0 --> 0 < x < 2·a ∨ 2·a < x < 0

Comments

Wo kann ich mir diese Schreibweise aneignen?

Ich checke die irgendwie nicht so 100%ig......

Kann man das irgendwo lernen?

Danke :)

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Was checkst du denn nicht?

Du solltest natürlich noch die Ungleichung lösen die ich notiert habe. Ergebnisse habe ich nur zur Kontrolle angefügt.

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0 < x < 2·a  ∨  2·a < x < 0

Diese Schreibweise halte ich für logisch bedenklich. Man sollte wohl die Angabe des Definitionsbereichs bzgl. der Werte des Parameters a unterscheiden

$$ D_{f_a}= \begin{cases} ]0,2a[\text{ }\text{ }für\text{ }\text{ }a>0 \\  ]2a,0[\text{ }\text{ }für\text{ }\text{ }a<0 \\\text{ }\text{ }\text{ }\text{{ }}\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }für\text{ }\text{ }a=0\end{cases}$$

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Und was ist genau an der Schreibweise bedenklich. Setze mal ein a > 0 ein

0 < x < 2·5  ∨  2·5 < x < 0

linke Seite besagt 0 < x < 10

Rechte Seite fordert ein x welches < 0 ist aber auch > 10. Die rechte Seite gibt in diesem Fall natürlich keine weitere Lösung.

Für ein a < 0 sieht das ähnlich aus. Du kannst es gerne mal probieren.

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Und was ist genau an der Schreibweise bedenklich.

Es handelt sich hier um eine Funktionenschar, deren maximale Definitionsmengen (!)  man wohl nicht mit einer logischen Bedingung beschreiben kann.

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Ich habe hier gar keine Definitionsmenge angegeben.

Aber was spricht gegen

D_fa = {x ∈ R | 0 < x < 2·a ∨ 2·a < x < 0}

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Dazu fällt mir kein Gegenargument ein, das "logische Bedenklichkeit" begründen würde.

Ich reduziere diesen Einwand auf "unschön", was auf 

\(D_{f_{1}} = \{(x ∈ R\text{ } |\text{ } 0 < x < 2 ∨ 2 < x < 0\}\) 

 ja wohl auch zutrifft :-)

Aber wie du sagtest: Du hast ja in der Antwort keinen Definitionsbereich angegeben.

Erwartet wird in Arbeiten und Klausuren aber eine Fallunterscheidung für den Parameter, wie ich sie in meinem ersten Kommentar angegeben habe. 

Answer 2

Bedingung
x * ( 2a - x ) > 0

1. Fall plus mal plus
x > 0
2a - x > 0
x < 2a
( x > 0 ) und ( x < 2a )

2. Fall minus mal minus
x < 0
2a - x < 0
x > 2a
( x < 0 ) und ( x > 2a )

Comments

Warum Fallunterscheidung???

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Der Term in der Wurzel muß positiv sein.

Ein Produkt  ist dann positiv falls
- beide Faktoren positiv sind
oder
- beide Faktoren negativ sind

( x > 0 ) und ( x < 2a )
entspricht
0 < x < 2a

oder
( x < 0 ) und ( x > 2a )
entspricht
2a < x < 0

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$$ D_{f_a}= \begin{cases} ]0,2a[\text{ }\text{ }für\text{ }\text{ }a>0 \\  ]2a,0[\text{ }\text{ }für\text{ }\text{ }a<0 \\\text{ }\text{ }\text{ }\text{{ }}\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }für\text{ }\text{ }a=0\end{cases}$$