ein Integral vereinfachen

Question

Hi 

ich muss eine Oberfläche integrieren und kam auf 
\( \int\limits_{0}^{2π} \) \( \int\limits_{0}^{R} \) (-2r³sin²(Θ))(r²cos²(Θ)-r²sin²(Θ)) drdΘ
kann mir jemand bei der Vereinfachung helfen ? und mir sagen wie er vorging ? sicher kann man noch vereinfachen und nicht jetzt integrieren aber ich komme nicht drauf !

Dankeee

Answer 1

Du kannst das Integral durch ausklammern von \( r \) so zerlegen, dass die Intergrationen nach \( r \) und \( \Theta \) undabhängig ausgeführt werden können. Dann noch ein paar trigonometrische Formeln anwenden und Du bekommst als Ergebnis $$ \frac{\pi}{6} R^6 $$

Answer 2

$$ \int\limits_{0}^{2π}  \int\limits_{0}^{R}  (-2r^{3}sin^{2}(Θ))(r^{2}cos^{2}(Θ)-r^{2}sin^{2}(Θ)) drdΘ$$

Erst mal die 2. Klammer betrachten  :

$$ r^{2}cos^{2}(Θ)-r^{2}sin^{2}(Θ)$$

$$=  r^{2}(cos^{2}(Θ)-sin^{2}(Θ))$$

$$=  r^{2}(2cos^{2}(Θ)-1)$$

Also hat man:

$$ \int\limits_{0}^{2π}  \int\limits_{0}^{R}  (-2r^{3}sin^{2}(Θ)) r^{2}(2cos^{2}(Θ)-1) drdΘ$$

$$ =\int\limits_{0}^{2π}  \int\limits_{0}^{R}  (-2r^{5}sin^{2}(Θ))(2cos^{2}(Θ)-1) drdΘ$$

und das innere Integral ist dann ja einfach und es bleibt:

$$ =\int\limits_{0}^{2π}  \frac{ -R^{6}sin^{2}(Θ)(2cos^{2}(Θ)-1)}{3} dΘ  $$

$$ =\frac{ -R^{6}}{3} \int\limits_{0}^{2π}  sin^{2}(Θ)(2cos^{2}(Θ)-1) dΘ  $$

Und jetzt kommt es ja drauf an, was du so

benutzen darfst  Wenn du z.B. ein Ergebnis

für das Integral über sin^2(x)cos^2(x) schon kennst, ist es ja nicht mehr

so wild.