Vektorrechnung Pyramide Volumen

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie mithilfe der Vektorrechnung das Volumen der Pyramide, deren Grundfläche ein Fünfeck mit den Eckpunkten

A(3,0,2) B(1,2,2) C(-1,2,2) D(-3,0,2) E(0,-4,2) ist und dessen Spitze im Punkt S(0,0,6) liegt.

Problem/Ansatz:

Das Volumen für eine Pyramide habe ich durch \( \frac{1}{3} \) |a x b|*c

Wie komme ich auf die gesuchten Vektoren um mein Spatprodukt zu bilden?

Geht das über den Nullvektor (0,0,0) ?

Allerdings habe ich dann ja zu viele Punkte, denn jeder Punkt ABCDE wäre dann ein Vektor.

Und was soll ich mit der Spitze anfangen?

Vielen Dank im Voraus

Answer 1

Die Grundfläche ist ein Trapez mit der Höhe 2 und im Abstand 2 zu xy-Ebene. Die Höhe ist h=4.(Das kann man bereits vorab an den gegebenen Punkten ablesenen. Die Grundfläche ist G= \( \frac{6+2}{2} \) ·2. Das Volumen ist \( \frac{1}{3} \) ·G·h.

Elementare Geometrie genügt.

Comments

Woher kommt die 6 in deiner Formel für die Grundseite?

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Das ist die Läge der Strecke AD.

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Und warum muss ich genau diese Strecke nehmen?

Das Fünfeck ist ja nicht gleichseitig... woher weiß ich dass diese Strecke die notwendige ist ? Ich könnte ja dann doch genau so die Strecke AC nehmen aber die ist nicht 6...

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Entschuldige, meine Antwort geht von einem Trapez als Grundfläche aus. Die fünfte Ecke fügt dem noch ein Dreieck mit der Fläche 12 hinzu. Dann ist die Grundflache  G=20 und das Volumen V=80/3

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Ja aber warum berechne ich die Länge mit AD und kann das nicht mit einem der anderen Vektoren wie z.B. AC oder AB machen?

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Die Projektion der Grundfläche in die xy-Ebene sieht so aus:

Sie liegt insgesamt überall auf dem Niveau z=2. S liegt über dem Ursprung auf dem Niveau z=6.

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Tut mir Leid... aber deine Antworten geben mir keinen Rückschluss auf meine Fragen....weitergeholfen ist mir mit deinen Antworten leider nicht..... trotzdem vielen Dank!

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Kannst du die Funfecksfläche G, die ich gezeichnet habe berechnen? Wenn ja, dann gilt V=G·4/3

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Geht das auch irgendwie anders zu berechnen mithilfe der Vektorrechnung? Denn eine unregelmäßige Fünfecksfläche zu berechnen habe ich leider so nicht gelernt.....

Answer 2

Also dann mal einen Versuch

===> E'=(0,3,2)

G = sqrt(((E-E')⊗(D-E'))^2) - sqrt(((C-E')⊗(C-B))^2)/2

\(\small G= \sqrt{\left(\left(E - E' \right) \otimes \left(D - E' \right) \right)^{2}} - \frac{\sqrt{\left(\left(C - E' \right) \otimes \left(C - B \right) \right)^{2}}}{2}\)

G = 20

V = 1/3 *20 * 4

V = 26 2/3