Nun, das ist halt ein wenig Bruchrechnung :-)
Ich zeig dir wie's geht:
$$f'(x)=\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { \frac { 1+x+h }{ x+h } -\frac { 1+x }{ x } }{ h } }$$
Zunächst die beiden Brüche im Zähler des großen Bruches gleichnamig machen und als einen Bruch mit gemeinsamen Nenner schreiben:
$$=\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { \frac { x(1+x+h)-(x+h)(1+x) }{ x(x+h) } }{ h } }$$
Diesen Ausdruck kann man auch schreiben als:
$$=\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { x(1+x+h)-(x+h)(1+x) }{ x(x+h)h } }$$
Zähler ausmultiplizieren:
$$=\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { { x }^{ 2 }+x+hx-{ x }^{ 2 }-x-h-hx }{ x(x+h)h } }$$
und zusammenfassen (fast alles hebt sich gegeneinander auf):
$$=\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { -h }{ x(x+h)h } }$$
mit h kürzen:
$$=\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { -1 }{ x(x+h) } }$$
und aus diesem Ausdruck kann man den Grenzwert bestimmen:
$$=\frac { -1 }{ { x }^{ 2 } }$$
