Differenzenquotienten und Differentialquotienten als Funktion darstellen?

Question

Liebe Lounge,

ich frage mich gerade, ob man den Differenzenquotienten und den Differentianlquotienten als Funktion darstellen kann ?

Wäre für eine Antwort und auch ein Beispiel sehr dankbar. Die Frage, die mitschwingt: Entsteht i wie für h=0 eine Definitionslücke? Wobei ja für h=0 die gesamte Funktion nicht definiert wäre.

Ich frage, weil ich mir das Ganze gerade so vorstelle, dass die Funktion (welche den Differentialquotienten an der Stelle x angibt) für h=0 eine Definitionslücke hat. Wobei dann ja h das Argument sein müsste...

Wahrscheinlich ergibt das keinen Sinn...

Answer 1

Der Differenzenquotient

m = (f(x + h) - f(x)) / h

ist an der Stelle h = 0 nicht definiert, hat dort also eine Definitionslücke.

Der Differentialquotient ist daher der Grenzwert für h gegen 0.

f'(x) = lim (h → 0) ((f(x + h) - f(x)) / h)

Den Grenzwert bestimmt man dabei im einfachsten Fall indem ein h im Zähler gegen das h im Nenner gekürzt wird. Dann kann man für h = 0 einsetzen und enthält den Grenzwert.

Comments

Kann man den Differenzenquotienten als Graph plotten?

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Ja. Allerdings nur für ein festes h.

Oder zweidimensional für beliebige h.

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Könnte man nicht einfach f(h)=(f(x+h)-f(x))/h definieren?

Dann hätte die Funktion an der Stelle h=0 eine Lücke.

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Ja. Dann musst du aber eine feste Stelle für x nehmen. Also x fest definieren, wenn du es plotten möchtest.

also

f(x) = x^2

für x = 1

m(h) = (f(1 + h) - f(1)) / h = (h^2 + 2h) / h

nun könnte man in der Funktion ein h im Zähler und Nenner kürzen. Dann erhältst du die stetige Ergänzung:

m(h) = h + 2

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Ja, oder man lässt x laufen mit einem Schieberegler?

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Könnte man nicht einfach f(h)=(f(x+h)-f(x))/h definieren?

f(x) war ja schon definiert. daher ist f(h) nicht möglich.

aber du kannst wie ich m(h) nehmen.

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Angenommen, ich lasse m(h) an der Stelle x=1 plotten.

Dann ist der Grenzwert für h->0 von m(h) gerade die Steigung der Funktion f an der Stelle x=1... ?

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Dann ist der Grenzwert für h->0 von m(h) gerade die Steigung der Funktion f an der Stelle x=1... ?

Genau.

Aber dazu brauchst du nicht m(h) plotten lassen, wo dich doch eh nur der Grenzwert h → 0 interessiert.

Answer 2

Hallo Kombinatrix,

als desmos-Fan hat mich deine Frage gereizt, deine Idee graphisch umzusetzen. Das ist dabei heraus gekommen:

https://www.desmos.com/calculator/2lecgnqsms

Violett f(x)  [hier f(x)=x^3]

Blau f'(x)

Gelb  Tangente an der Stelle x=a und Sekante zwischen x=a und x=a+h

Rot m(a), also der Differenzenquotient

Blauer Punkt bei (a|f'(a))    → verschiebbar

Schwarzer Punkt bei (h|m(h)) → verschiebbar

Dabei ist m(h) die Steigung der gelb gezeichneten Sekante.

Wenn du auf das desmos-Symbol klickst, kannst du ein bisschen herumspielen, also die Punkte verschieben und den Funktionsterm verändern.   :-)

PS: Für h=0 verschwindet der schwarze Punkt und die gelb durchgezogene Tangente wegen der hebbaren Definitionslücke.