Funktionsschar, Aussagen rechnerisch beweisen

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktionsschar f_t(x)=e^x-tx. Zeigen sie rechnerisch das der Graph f_t(x)  für alle t>0 einen tiefpunkt hat und bestimmen sie diesen inAbhängigkeit von t. Auf welcher Ortskurve liegen die Tiefpunkte der Graphen von f_t?

Aufgabe 2:

Gegeben ist die Funktionsschar f_k(x)=(x^2+k)*e^x

a) Zeigen Sie das die Graphen von f_k für k>=1 keine schnittepunkte mit der x achse und keine extrempunkte haben

b) Beschreiben Sie wie sich die Nullstellen verändern wenn man k für k<0 varriert.

c) Begründen sie das der Graph von f_k entweder keinen Extrempunkt oder zwei Extrempunkte besitzt.

d)Berechnen Sie für welche Werte von k der Graph f_k Wendestellen besitzt

Comments

Nach den Schreibregeln des Forums sind unabhängige Aufgaben in getrennten Fragen einzustellen.

https://www.mathelounge.de/schreibregeln

Answer 1

f ( x ) = e^x - tx

f ´( x ) = e^x - t

Stelle mit waagerechter Tangente
e^x - t = 0
e^x = t  | ln
x = ln(t)

f ´´( x ) = e^x
e^x > 0
stets Tiefpunkt

f ( ln(t) ) = e^(ln[t]) - t * ln(t)
f ( ln(t) ) = t - t * ln(t)
f ( ln(t) ) = t * ( 1 - ln(t) )
( ln(t) | t * ( 1 - ln(t) )

Ortskurve
x = ln(t)
y = t * ( 1 - ln(t) )

x = ln(t) => t = e^(x)
Einsetzen
ort ( x ) = e^x * ( 1 - ln(e^x) )
ort ( x ) = e^x * ( 1 - x )

Comments

f_k(x)=(x^2+k)*e^x
f ( x ) = ( x^2 + k ) * e^x

Nullstellen
e^x ist stets > 0
x^2 ist stets ≥ 0
k ≥ 1
x^2 + k ist stets > 0
( x^2 + k ) * e^x ist stets > 0
keine Nullstellen

f ´ ( x ) = 2*x * e^x  + ( x^2 + k ) * e^x
f ´ ( x ) = e^x  + ( 2x + x^2 + k )
Stelle mit waagerechter Tangente
e^x  + ( 2x + x^2 + k )  = 0
Nebenrechnung
x^2 + 2x + 1^2 - 1^2 + k
( x + 1)^2 + k - 1

( x + 1)^2 ≥ 0
k ≥ 1
k - 1 ≥ 0
e^x > 0
Zusammen
e^x  + ( 2x + x^2 + k )  > 0
keine Stelle mit waagerechter Tangente vorhanden

b.)
Nullstellen
e^x ist stets > 0
x^2 ist stets ≥ 0
k kleiner 0
Falls
x^2 + k  = 0 ist dann
x^2 = -k
x = ±√ -k

x = √ -k
und
x = - √ -k

( x^2 + k ) * e^x = 0
Nullstellen bei
x = √ -k
und
x = - √ -k

c.)
k ≥ 1
Siehe oben

k < 0
k - 1 stets < 0
e^x stets > 0
Zusammen
e^x  + ( 2x + x^2 + k )  = 0
e^x + ( x + 1)^2 + k - 1 = 0
( x + 1)^2 = 1 - k - e^x
1 - k - e^x
kleiner 0  : keine Stelle
gleich 0 : 1 Stelle bei x = -1
1 - k - e^(-1) = 0
k = 1 - 1/e
größer 0 :
2 Stellen

So ich habe keine Lust mehr.
Hoffentlich stimmt das alles.

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Hoffentlich stimmt das alles
Du hast leider ein paar Multiplikations- fälschlicherweise durch Additionszeichen ersetzt und an einigen Stellen auch mit Addition weitergerechnet.

So habe keine Lust mehr.
Wenn dich die Lust wieder überkommt :
bei c. sollte auch der Bereich  0≤k<1  untersucht werden, des Weiteren muss dein Begriff "Stelle" präzisiert werden: Es muss deutlich werden, in welchen Fällen genau es sich dabei um Extremstellen handelt.

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Korrektur zu
a.)
f ´ ( x ) = 2*x * e^x  + ( x^2 + k ) * e^x
f ´ ( x ) = e^x  mal ( 2x + x^2 + k )
Stelle mit waagerechter Tangente
e^x  * ( 2x + x^2 + k )  = 0
Satz vom Nullprodukt
2x + x^2 + k = 0
( x + 1 )^2 = ±√ ( 1- k )
für k = 1 gibt es die Lösung
x = -1
2.Ableitung
f ´´ ( x ) = e^(x) * (x^^2 + 4*x + k + 2)
In die 2.Ableitung eingesetzt
f ´´ ( -1 ) = e^(-1) * ((-1)^^2 + 4*(-1) + 1 + 2) = 0
kein Extrempunkt ( Sattelpunkt )

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b.) 2 Nullstellen, siehe oben

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c.)
siehe Korrektur zu a.)
( x + 1 )^2 = ±√ ( 1- k )
x = ±√ ( 1- k )  - 1
1 - k  ;
< 0 : keine Lösung ( k > 1 )
gleich 0 : Sattelpunkt ( k = 1 )
> 0 : 2 Lösungen ( k < 1 )

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f ´´ ( x ) = e^(x) * (x^2 + 4*x + k + 2)
Wendestelle
e^(x) * (x^2 + 4*x + k + 2) = 0
Satz vom Nullprodukt
x^2 + 4*x + k + 2 = 0
x^2 + 4x = -2 -k
x^2 + 4x + 2^2 = -2 - k + 4
( x + 2 )^2 = 2 - k
x + 2 = ±√ ( 2 - k)
2 - k ≥ 0
k ≤ 2
Für  k = 2 gibt es eine Wendestelle
Für  k < 2 gibt es zwei Wendestellen