Kugeln und Ebenen: bei der b) hab ich auch noch keine Ansätze.

Question

Aufgabe:

Gegeben sind die Punkte M( 0 /10/12,5 ) ; P( 0/0/5 ) sowie die Ebene E: 4x+3z = 40

a) Die Kugel K hat den Mittelpunkt M und geht durch P. Bestimmen Sie eine Gleichung der Kugel K und die Punkte, die K mit den Koordinatenebenen gemeinsam hat.

b) Die Kugel K* hat den Mittelpunkt P und den Radius 5. Zeigen Siem dass K* die Ebene E im Punkt Q( 4/0/8 ) berührt und bestimmen Sie eine Gleichung einer zweiten Tangentialebene F der Kugel K*, die parallel zu E verläuft.

Problem/Ansatz:

Bei der a) habe ich die Kugelgleichung: K: x^2+(y-10)^2+(z-12,5)^2 = 12,5^2 herausbekommen und habe dann die Parametergleichung der x-y Ebene mit der Kugelgleichung gleichgesetzt. Nun bin ich bei s^2-10s+975/4 = r^2 stehen geblieben und komme nicht weiter. Und bei der b) hab ich auch noch keine Ansätze.

Wäre nett, wenn mir jemand helfen könnte.

Answer 1

a) Die Kugel K hat den Mittelpunkt M und geht durch P. Bestimmen Sie eine Gleichung der Kugel K und die Punkte, die K mit den Koordinatenebenen gemeinsam hat.

|MP| = 12.5
K: x^2 + (y - 10)^2 + (z - 12.5)^2 = 156.25

Gemeinsame Punkte mit der yz-Ebene
(y - 10)^2 + (z - 12.5)^2 = 156.25

Gemeinsame Punkte mit der xz-Ebene
x^2 + (0 - 10)^2 + (z - 12.5)^2 = 12.5^2 → x^2 + (z - 12.5)^2 = 56.25

Gemeinsame Punkte mit der xy-Ebene
x^2 + (y - 10)^2 + (0 - 12.5)^2 = 156.25 → x^2 + (y - 10)^2 = 0 → (0 | 10 | 0)

Bei b) fehlt zumindest der Mittelpunkt. Den kann ich mir jetzt zwar herleiten aber du solltest schon dafür sorgen, dass die Aufgabenstellung vollständig und richtig ist.

Comments

So was wie

(y - 10)^2 + (z - 12.5)^2 = 156.25

ist ein Zylinder

sollte da nicht was kreisartiges anzugeben sein?

Edit:

\(\small X = (0, 0, 12.5) + (7.5 cos(t), 0, 7.5 sin(t))\)

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Du könntest noch ein x = 0 dazu sagen. Aber das ist in der yz-Ebene ja die Voraussetzung.

(y - 10)2 + (z - 12.5)2 = 156.25 und x = 0

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Vielen Dank für die Antwort !!

Wie kommt man von x^2+(y-10)^ = 0 auf ( 0/10/0 )??

Und bei der b) ist der Mittelpunkt P. Ich konnte zeigen, dass die Ebene E den Punkt Q berührt, aber beim zweiten Teil bin ich echt verzweifelt und habe auch keinen Ansatz.

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x^2 + (y - 10)^2 = 0

Das ist ein Kreis in der xy- Ebene mit dem Radius 0 und damit einfach der Kreismittelpunkt.

b)

Tangentialebene F im Berührpunkt Q2

Q = P + [4, 0, 3]

Q2 = P - [4, 0, 3] = [-4, 0, 2]

F: 4x + 3z = -10

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Und der Mittelpunkt des Kreises in der xy-Ebene ist dann der gemeinsame Punkt der Kugel und der xy-Ebene oder wie? Tut mir leid, ich hab das leider immer noch nicht richtig verstanden. Könntest du mir das vielleicht mal erläutern? Und vielen Dank für für die Antwort für b)

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Wenn eine Kugel mit dem Radius r einen kleineren Abstand als r von einer Ebene hat, dann schneiden sich die Kugel und die Ebene in einem Schnittkreis.

Wenn eine Kugel mit dem Radius r genau den Abstand r von einer Ebene hat, dann berührt die Kugel die Ebene in einem Punkt. Der Schnittkreis hat dann den Radius 0.

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Also muss ich den Schnittkreis der Ebene und der Kugel berechnen?

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Ja genau. In diesem Fall recht einfach weil entweder x = 0, y = 0 oder z = 0 werden. Daher kann man dann einfach in die Kugelgleichung eine Koordinate = 0 setzen.

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Und dann muss ich einfach den Mittelpunkt davon rausschreiben und die Aufgabe ist erledigt? Muss ich noch durch die HNF zeigen, dass die Ebene die Kugel schneidet?

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Nein. Das kannst du doch direkt der Gleichung entnehmen, das es einen Schnittpunkt gibt.

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Dankeschön für deine schnellen und hilfreichen Antworten !! :)