Aufgabe:
Gegeben ist das Differenzialgleichungssystem:
$$ \begin{aligned} \dot { x } _ { 1 } ( t ) & = x _ { 2 } ( t ) \\ \dot { x } _ { 2 } ( t ) & = \epsilon \left( 1 - x _ { 1 } ^ { 2 } ( t ) \right) x _ { 2 } ( t ) - x _ { 1 } ( t ) \end{aligned} $$
mit Epsilon > 0.
mit $$ V : \mathbb { R } ^ { 2 } \rightarrow \mathbb { R } , \boldsymbol { x } = \left( x _ { 1 } , x _ { 2 } \right) ^ { T } \mapsto x _ { 1 } ^ { 2 } + x _ { 2 } ^ { 2 } $$
Problem/Ansatz:
Nun soll man $$ \left. \frac { d V } { d t } \right| _ { \boldsymbol { x } ( t ) } $$ bestimmen. Wie geht das? Damit soll ich dann die Definitheit zwischen -1 und 1 für x1 untersuchen. Und kann mir jemand erklären wie man diese Abbildung richtig ausspricht und was das genau bedeutet? Also die Abbildung V Bildet mit einer Funktion von R^2 auf R ab. In diesem Fall lautet die Funktion ja (x1,x2)^T und die Bildet auf x1^2 + x2^2 ab richtig? Doch wie kann man sich das vorstellen?
Vielen Dank
Tim
