Nullstellen mit PQ Formel für f(x) = -0,25x²+2x-1

Question

f(x) = -0,25x²+2x-1

Wie kann ich diese Funktion mit der PQ-Formel berechnen sowie die Extrempunkte bestimmen?

Answer 1

Du kannst die Funktionsgleichung durch Ausklammern in die Form $$f(x)=a\cdot\left(x^2+px+q\right)$$bringen. Dann liefert die pq-Formel mit $$x_{1,2}=-\dfrac p2\pm\sqrt{\left(\dfrac p2\right)^2-q}$$mögliche Nullstellen und mit dem, was vor der Wurzel steht, nämlich $$x_s=-\dfrac p2$$auch gleich die Extremstelle (= Scheitelstelle). Der Extrempunkt ist also $$\left(-\dfrac p2\:\right\vert\: \left. f\left(-\dfrac p2\right)\right).$$Das ist ein Hochpunkt für negative a und ein Tiefpunkt für positive a.

Answer 2

Nullstellen: f(x) = 0

-0.25x^2 + 2x - 1 = 0

x^2 - 8x + 4 = 0

x_1/2 = - \( \frac{-8}{2} \) ± \( \sqrt{(\frac{-8}{2})^2 - 4} \)

x₁ ≈ 0.54, x₂ ≈ 7.46

Extrempunkte: notw. Bed.: f'(x) = 0

f'(x) = -0.5x + 2

-0.5x + 2 = 0

x = 4

Hinr. Bed.: f''(x) ≠ 0

f''(x) = -0.5

f''(4) = -0.5 < 0  => Hochpunkt H(4|3)

Comments

Bei Extremwerten von qadratischen Funktionen kann man nicht unterstellen, dass die Fragesteller schon Differentialrechnung behandelt haben.
Vergleiche die Antwort von Sylvia.

Answer 3

Zur Bestimmung der Extremstelle (der nach unten geöffneten Parabel) bildest du entweder die 1. Ableitung und setzt sie = 0 oder du bildest die Differenz zwischen den beiden Nullstellen, nimmst davon die Hälfte und addierst sie zur ersten Nullstelle (0,54 + \( \frac{6,92}{2} \) und erhältst die x-Koordinate des Hochpunktes.

Comments

Oder man bemüht die Scheitelpunktform.