Lineare Algebra : Nullvektor ist eindeutig (Beweis)

Question

Aufgabe:

Beweise den Satz:

Der Nullvektor \(0_{V}\) ist eindeuteig. 

Für alle \(v \in V\) gilt: \( v + 0_{V} = v \)

Beweis:
Nehmen wir an, es gäbe zwei Nullvektoren in \(V\), also \(0_{V}\) und \(0'_{V}\) mit der obengenannten Eigenschaft des Nullvektors, dann gelte Für alle \(v \in V\) :

(1) \( v + 0_{V} = v \)

(2) \( v + 0'_{V} = v \)

Ich sehe dass beide, also (1) und (2),  \(v\) ergeben, deswegen darf ich (1) = (2) setzten 


\( v + 0_{V} =  v + 0'_{V} \)  | Hier wende ich direkt die Kürzungsregel an. Und mache auf beiden Seiten -v
⇒ \( 0_{V} = 0'_{V} \)

Frage: 
Darf ich das auf diese schnelle weise so machen? 
Ich habe dazu ein Video gesehen und der macht es für mich, zwar verwendet er die Axiome, etwas umständlicher....


Video Youtube: https://www.youtube.com/watch?v=84pZPpvJgwI

Answer 1

Gehört den die Kürzungsregel bei euch zu den Axiomen ?

Dann wäre das wohl OK, allerdings müsstest du dann

beginnen mit. Sei v∈V.

( Da V nicht leer ist, gibt es sowas.)

Comments

Also die Kürzungsregel wurde schon bei uns gezeigt in der Vorlesung und im Skript steht sie auch. Aber mein Prof macht meistens auch solche "Ketten"-Beweise. Für mich ist allerdings das mit der Kürzungsregel logischer. einleuchtender.

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Das gleiche gilt für mich um zu zeigen, dass das inverse Element eindeutig bestimmt ist. 

Satz: 

Zu jedem Vektor v aus V gibt es genau ein Vektor mit der Eigenschaft v+ v' = 0.

Wir nehmen an es gäbe zwei Vektoren zu V mit der obengenannten Eigenschaft.
Dann gelte,

(1) v+v' = 0
(2) v+v'' = 0

Ich setze gleich (1) = (2).

v + v' = v+ v'' | Ich kürze auf beiden Seiten das v
v' = v''.

Ich habe nun gezeigt, dass das Inverse von v eindeutig ist und dass das Inverse durch seine Eigenschaft bestimmt ist.