Abnahmeprozess Heißes Wasser im Kühlschrank

Question

Aufgabe:

Heißes Wasser wird in einen Kühlschrank gestellt der auf 8 Grad eingestellt ist.

Die Änderungsrate der Wassertemperatur ist bei diesem Abkühlvorgang stets proportional zur noch bestehenden Temperaturdifferenz zur Umgebungstemperatur.

Nach 5 Minuten hat sich das Wasser bereits von 100 Grad auf 77 Grad abgekühlt

Welche Temperatur hat das Wasser nach 10 Minuten?

Wann wir eine Wassertemperatur von 10 Grad erreicht?

Ich verstehe jetzt noch nicht so genau wie ich das hier berechnen muss. Besonders mit der Änderungsrate.

Danke

Answer 1

Dies ist das Newtonsche Abkühlungsgesetz.
Eine Exponentialgleichung

Die Fragestellung ist etwas abgehoben.
( Zeit | Temperatur )
( 0 | 100 )
( 5 | 77 )
auf 8 ° abgekühlt werden

Das Wasser kühlt von 100 ° auf 8 ° ab.
Um einfacher zu rechnen wird angenommen
( 0 | 92 )
( 5 | 69 )

T ( t ) = T0 * f ^t
T ( t ) = 92 * f ^t
T ( 5 ) = 92 * f ^5 = 69

92 * f ^5 = 69
f^5 = 69/92  | hoch 1/5
f = ( 69/92)^(1/5) = 0.9441

T ( t ) = 92 * 0.9441 ^t

Jetzt noch die 8 ° hinzuaddieren

T ( t ) = 92 * 0.9441 ^t + 8

Proben
T ( 0 ) = 100 °
T ( 5 ) = 92 * 0.9441 ^5 + 8 = 77 °

zu den Fragen
T ( 10 ) = 92 * 0.9441 ^10 + 8 = ???
T ( t ) = 92 * 0.9441 ^t + 8 = 10 °

Frag bitte nach bis alles klar ist.

Comments

Die Änderungsrate der Wassertemperatur ist bei diesem Abkühlvorgang stets proportional zur noch bestehenden Temperaturdifferenz zur Umgebungstemperatur.

Das verstehe ich nicht. Wie wird das mathematisch erfasst?

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Das ist sehr gut verständlich. Danke

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@Andreas

angenommen
T ( t ) = a * e ^(k*t)
T ´( t ) = a * e^ (k*t) * k
T ´( t ) = T ( t ) * k

In Worten
Die Änderungsrate der Wassertemperatur [  T´ ( t ) ]
ist bei diesem Abkühlvorgang stets proportional
zur noch bestehenden Temperaturdifferenz [ T ( t ) ]
zur Umgebungstemperatur.

Proportionalitätsfaktor k

So eine Frage hatten wir vor ein paar Wochen
schon einmal.

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Ich merke, solche Aufgaben sind nicht mein Ding. Danke dir  trotzdem. :)

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Dafür kannst du kaufmännische Fragen und
Wahrscheinlichkeitsrechnungen ja ganz gut.

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Man tut, was Bruder Alzheimer noch zulässt. :)

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siehe meine e-Post. Georg

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@Andreas
Hier die Skizze

T Temperatur
t : Zeit
Die Funktion ist nur angenommen.
T ( t ) = 100 * e^(-0.9*t)
T ´ ( t ) = 100 * e^(-0.9*t) * (-0.9)

T ( 1 ) = 100 * e^(-0.9*1) = 36.8 Grd ( Funktionswert )
( Steigung / Änderungsrate )
T ´( 1 ) = 100 * e^(-0.9*t) * (-0.9) = - 33.1 Grd / Std
T ´ ( 1 ) = T ( 1 ) * (-0.9) = 36.8 * (-0.9 ) = -33.1 Grd/Std

T ( 2 ) = 100 * e^(-0.9*2) = 16.5 Grd ( Funktionswert )
( Steigung / Änderungsrate )
T ´( 2 ) = 100 * e^(-0.9*2) * (-0.9) = - 14.9 Grd / Std
T ´( 2 ) = T ( 2 ) * (-0.9) = 16.5 * (-0.9 ) = - 14.9 Grd / Std

Die Änderungsrate T ´( t ) = T ( t ) * (-0.9)

T ´( t ) ist proportional T ( t )
Proportionalitätsfaktor = -0.9

Übrigens bin ich der Ansicht das Kathargo zerstört werden sollte.