Abnahmeprozess — Abbau eines Medikamenten/Narkose

Question

Aufgabe:

Bei einer Operation wird für die Narkose ein Medikament verwendet, das mit einer Halbwertszeit von 40Min. abgebaut wird.

a) Welche Funktion erfasst den Zusammenhang von verstrichener Zeit und noch vorhandener Medikamentenmenge? Anfangswert angeben (No).

b) Wie viel Prozent des Medikamenten zerfällt pro Minute?

Problem/Ansatz:

Ich habe klar, dass: N(40) = 0,5

Man kennt aber dennoch nicht den Zerfallsfaktor und den Anfangswert nicht.

Wie kann ich sie ausrechnen?

Ich vermute man könnte mit einer Exponentialfunktion erklären (oder auch mit der normalen Zerfallfunktion):

>N(t) = No•e^-k•t

oder

>N(t) = No•q^-t

Ich bedanke euch im Voraus für die Hilfe!

Answer 1

Aloha :)

Die Halbwertszeit des Medikamentes beträgt \(T_{1/2}=40\). Damit gehen wir in das Zerfallsgesetz:

$$\left.N(t)=N_0e^{-\alpha t}\quad\right|\;\text{Halbwertszeit eintragen}$$$$\left.\frac{1}{2}N_0=N_0e^{-\alpha T_{1/2}}\quad\right|\;:N_0$$$$\left.\frac{1}{2}=e^{-\alpha T_{1/2}}\quad\right|\;\ln(\cdots)$$$$\left.\ln\left(\frac{1}{2}\right)=-\alpha T_{1/2}\quad\right|\;\text{links umformen}$$$$\left.\underbrace{\ln(1)}_{=0}-\ln(2)=-\alpha T_{1/2}\quad\right|\;:(-T_{1/2})$$$$\alpha=\frac{\ln(2)}{T_{1/2}}=\frac{\ln(2)}{40}$$Die Abbaufunktion lautet daher:$$N(t)=N_0e^{-\frac{ln(2)}{40}\cdot t}$$Nach \(t=1\) Minute haben wir noch:$$N(t)=N_0e^{-\frac{ln(2)}{40}\cdot 1}\approx N_0\cdot0,9828\quad\Rightarrow\frac{N(t)}{N_0}\approx98,28\%$$Pro Minute zerfallen also \(1,72\%\).

Answer 2

Bei einer Operation wird für die Narkose ein Medikament verwendet, das mit einer Halbwertszeit von 40Min. abgebaut wird.

a) Welche Funktion erfasst den Zusammenhang von verstrichener Zeit und noch vorhandener Medikamentenmenge? Anfangswert angeben (No).

N(t) = No * 0.5^{t/40}
N(t) = No * (0.5^{1/40})^t
N(t) ≈ No * 0.9828^t
N(t) ≈ No * (e^{ln(0.9828)})^t
N(t) ≈ No * e^{-0.01733 * t}

b) Wie viel Prozent des Medikamenten zerfällt pro Minute?

1 - 0.9828 = 0.0172 = 1.72%
Es zerfallen ca. 1.72% pro Minute.

Comments

Editiere  N(x) = No * 0.5^(x/40) ,,,

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Danke für den Hinweis.
Ich habe lieber in den Funktionstermen auch ein t geschrieben.