Fehlender Integralwert gesucht?

Question

Der Graph p  und die Abszissenachse begrenzen eine Fläche vollständig. Die Gerade x=u (u: Elemente aller reellen Zahlen) -4 < u < 2 halbiert diese Fläche vollständig. Berechnen Sie den Wert für u.

gegebene Gleichung Gp: -1/4 (x^3+6x^2-32)

Ich habe diese Gleichung ausmultipliziert und die Nullstellen berechnet.

Ausmultiplizierte Funktion : Gp=  -1/4 x^3-3/2x^2+8 , deren Nullstellen lauten: x1= 3.4031 ,x2= 0, x3= -9.403

Dann muss Gp integriert werden:  Gp' = (1/16 x^4 -1/2 x^3 + 8x)

Ich habe zuerst den Flächeninhalt  zwischen 0 und 3.4031 ausgerechnet, da sich u im positiven Bereich befinden muss.

Das hat -5.282 FE ergeben. Diesen Wert habe ich halbiert, also -5.282:2 = -2.641 -> 2.641

Jetzt muss ich 0 und u als Integral schreiben mit dem gegebenen Flächeninhalt.

[-1/16 * 0^4-1/2*0+8*0]  - [-1/16*u^4-1/2*u^3+8*u] = 2.641 FE  Wie kann ich u ermitteln?

      0 FE

Comments

Ich habe diese Gleichung ausmultipliziert und die Nullstellen berechnet.

Wie bist du denn auf die Nullstellen gekommen? Sie sind falsch!

Die Nullstellen -4 und 2 sind doch schon vorgegeben.

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Muss ich jetzt Gp integrieren und den Flächeninhalt ausrechnen und ihn durch 2 teilen? Und wie muss ich dann vorgehen?

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Du musst die Integralgleichung $$\int_{-4}^{u}p(x)\text{ d}x = \int_{u}^{2}p(x)\text{ d}x$$lösen. Denn wenn die Gerade x=u die eingeschlossene Fläche zwischen der x-Achse und dem oberhalb von dieser liegenden Graphen Gp halbieren soll, müssen beide Teilflächen gleich groß sein. Dies ergibt die angeführte Integralgleichung.

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Und woher weiß ich, wie groß der Flächeninhalt sein muss, damit ich u auf komme?

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Der Inhalt der Flächen ist ja nicht gesucht und wird zum Bestmmen von u auch nicht benötigt. Wenn man will, kann man ihn ja zum Schluss auch noch ausrechnen.

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Muss ich Gp integrieren und -4 einsetzen und das Gleiche auf für 2 machen? Ich benötige doch den Flächeninhalt um auf u zu kommen, oder etwa nicht?

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Was ist, wenn ich dann den Flächeninhalt für -4 und 2 ausrechne, dies durch 2 teile und dann u ermittle?

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Vielleicht löst du einfach mal die Integralgleichung.

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Wie soll ich die denn lösen?

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Stammfunktion bilden, Hauptsatz anwenden.

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Ich habe die Stammfunktion gebildet, die wäre -1/16 x^4 -1/2 x ^3 +8x, dann setze ich -4 und 2 und komme auf 29.

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Der Flächeninhalt wird, wie ich bereits erwähnte, nicht benötigt. Warum willst den denn unbedingt ausrechnen? Das macht die Rechnung nur unnötig umständlich.

Hier eine Rechnung mit einem TI Nspire CX:

Answer 1

Nullstellen
x = -4
x = 2
Fläche zwischen x= -4 und x=2 ist 27

Die Hälfte der Fläche ist 13.5
∫ f(x) dx zwischen -4 und u = 13.5
oder
∫ f(x) dx zwischen u und 2 = 13.5

u = -0.314

Comments

Wie kommst du denn auf 27? Ich komme auf 29. Ich habe Gp ausmultipliziert und integriert und die -4 und 2 eingesetzt.

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Bei dir muß irgendwo ein Fehler sein.
Stell einmal deine Berechnungen ein

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Ich benötige nur eine vollständig gelöste Aufgabe, damit ich die Schritte für mich nochmal nachvollziehen kann. Ich möchte gerne mit einer vollständig gelösten Aufgabe einfach nur üben, aber so bringt dies nichts.

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Ausmultiplizierte Funktion : Gp=  -1/4 x3-3/2x2+8 ,
deren Nullstellen lauten: x1= 3.4031 ,x2= 0, x3= -9.403

Das ist schon einmal falsch. Du hast die Nullstellen für
Gp=  -1/4 x3-3/2x2+8 * x
berechnet

Nullstellen sind x = -4 und x = 2

Hier meine Berechnungen

Die abschließende Gleichung lautet
u^4 / 4 + 6u^3/3 - 32u = -10

Diese läßt sich z.B. mit dem Newton-Verfahren lösen
u = -0.314

Das Ergebnis stimmt.

mfg Georg

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Wie kommst du auf -10, wenn dort plus 16= 13.5 steht?

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Vielen Dank.

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( 13.5 - 16 ) * 4 = -10