Integral im 3dimensionalen mit Begrenzung

Question

Hi ich habe etwas Probleme bei folgender Aufgabe, vielleicht kann mir hier jemand weiterhelfen.

Berechnen Sie das Integral der Funktion ∫_M z d(x, y, z), wenn M jene Menge ist, welche durchdie Ebenen x = 0, y = 0 sowie x + y + z = 1 begrenzt wird.

Wie gehe ich hier vor bzw. was wären hier die Grenzen der Integrale?

Answer 1

Wenn Du Dir das aufzeichnest, sieht die Sache so aus:

https://www.matheretter.de/geoservant/de?draw=dreieck(1%7C0%7C0%200%7C1%7C0%200%7C0%7C1)

Dann  rechnest Du:

$$\int_{0}^{1}\int_{0}^{1-x}\int_{0}^{1-x-y}dzdydx$$

Comments

Du hast das \(z\)  vergessen$$\int_M \colorbox{#ffff00}{z} \,\text{d}V = ?$$falls ich mich nicht verrechnet habe:

$$\begin{aligned} \int_M z \, \text{d}(x,y,z) &= \int_0^1 \int_0^{1-z} \int_0^{1-y-z} z \,\text{d}x \,\text{d}y \,\text{d}z \\ &= \int_0^1 \int_0^{1-z} \left . zx \right|_{x=0}^{1-y-z} \,\text{d}y \,\text{d}z \\ &= \int_0^1 \int_0^{1-z} z(1-y-z) \,\text{d}y \,\text{d}z \\ &= \int_0^1 \left. -\frac 12y^2z + yz(1-z) \right|_{y=0}^{1-z} \,\text{d}z \\ &= \int_0^1 \frac 12 z (1-z)^2  \,\text{d}z \\ &= \left. \frac 12 \left( \frac 14 z^4 - \frac 23 z^3 + \frac 12 z^2 \right)  \right|_{\, z=0}^{\,1} \\ &= \frac 1{24} \end{aligned}$$

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Hm,

elementare Betrachtung: Die Ebene x+y+z-1=0 hat die Spurpunkte

B=(1,0,0), A=(0,1,0), C=(0,0,1)

V=(A⊗B)C/6=-1/6

lieg ich da flasch oder meint die Aufgabe was anderes?

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.. oder meint die Aufgabe was anderes?

Ich meine - ja! Es ist nicht das Volumen gesucht (das ist 1/6), sondern das Integral über alle \(z\) in dieser Pyramide:$$\int_M \colorbox{#ffff00}{z} \,\text{d}V = ?$$

Berechnen Sie das Integral der Funktion ∫M z d(x, y, z), ...

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Danke Werner. Das habe ich übersehen.