extremwertaufgabe mathe

Question

Aufgabe:

Der Querschnitt eines Kanals soll die Form eines Rechtecks mit aufgesetztem Halbkreis erhalten und den Flächeninhalt A haben. Welche Maße muss der Kanal haben, damit zur Herstellung möglichst wenig Material benötigt wird (d.h. der Umfang des Querschnitts minimal wird) ?

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand weiterhelfen? Oder erklären wieso mein Rechenweg falsch ist? (Ich hoffe meine Schrift ist gut leserlich)

Answer 1

Die vierte Zeile erst vereinfachen und dann ableiten:

U=A/r+2r+rπ/2

Comments

danke! jetzt habe ich die richtige lösung bekommen.

Answer 2

A = 2·r·a + 1/2·pi·r^2 --> a = A/(2·r) - pi/4·r

U = 2·r + 2·(A/(2·r) - pi/4·r) + pi·r

U = A/r + r·(pi + 4)/2

U' = (pi + 4)/2 - A/r^2 = 0 → r = √(2·A/(pi + 4))

Answer 3

Du kannst nur das Verhältnis von Radius zu Höhe
berechnen. Der Einfachheit halber setze ich  A = 1.

h = r

Ein Kanal mit gleicher Höhe und Radius ( Grundseite
= 2 * r ) dürfte den geringsten Materialverbrauch
haben.

Bitte bei Bedarf nachfragen.