Integration Parabel und Gerade

Question

ich habe folgendes Problem.

Aufgabe:

Der Weg C geht von (0,0) längs der Parabel y = x² nach (2,4) und von dort gerade nach (0,0) zurück.

Berechnen Sie $$ \int_{C} \vec{v}(\vec{x}) d \vec{x} $$
(i) $$ \vec{v}(x, y)=\left(\begin{array}{l}{y^{2}} \\ {x^{2}}\end{array}\right) $$

(ii) $$ \vec{v}(x, y)=\left(\begin{array}{l}{x^{2}} \\ {y^{2}}\end{array}\right) $$

Falls eines der beiden Vektorfelder ein Potential besitzt, geben Sie dieses an.

Problem/Ansatz:

Ich habe mir nun zuerst eine Skizze mit den Graphen gemacht und die Geradengleichung (g(x)=2x) aufgestellt.

Zu erst dachte ich, dass ich nun einfach den  Flächeninhalt berechnen soll, jedoch scheint dies aufgrund der Vektoren in (i) und (ii) nicht der Fall zu sein. Nun habe ich keine Ahnung wie ich hier vorgehen soll. Mich stört es irgendwie das in der generellen Aufgabe nur dx steht, aber ich ja eigentlich auch nach y integrieren muss oder?

Vielen Dank schonmal im voraus.

MfG

Answer 1

Hallo

der Weg ist also parametrisiert  c1(t)=(t,t^2) t von 0 bis 2, c2(t)=(t,2t) t von 2 bis 0 du teilst C in c1 und c2 und integrierst einzeln  das Skalarprodukt v(x(t)) * dx mit dx=c'(t) dt, dazu natürlich auf den Weg c1 v(x)=(t^2,t^4)

(deinen Vektor x hab ich c genannt, die Vektoren sind Spaltenvektoren)

Gruß lul

Comments

Das habe ich jetzt aktuell, stimmt das soweit? Ich habe allerdings nicht verstanden wieso die Grenzen immer bei 0-2 liegen und nicht für y bei 0-4?