Differentialrechnung Wirtschaftsmathe

Question

aufgabe :

Für einen Monopolist verlaufen die Stückpreise p linear zur Absatzmenge x. Die absatzmenge beträgt 2 ME bei einem Preis von 35€ und 4 ME bei einem Preis von 21€. Die variablen Kosten werden beschrieben durch Kv = x^3-6x^2+12x. Die Fixkosten betragen 35 GE.

1. bestimmen Sie die absatzmenge bei welcher der Gewinn am größten kst und berechnen Sie wie viel GE er beträgt .

2 geben Sie den Marktpreis an, der bei gewinnmaximaler ausbringungsmenge gilt.

Ich weiß, dass ich G‘(x)= 0 machen muss, leider komme ich gar nicht damit klar

Answer 1

verlaufen die Stückpreise p linear zur Absatzmenge x. Die absatzmenge beträgt 2 ME bei einem Preis von 35€ und 4 ME bei einem Preis von 21€.

==>  p(x) = m*x+n

==>  35 = 2m + n
        21 = 4m + n

==>  14  = -2m ==>    m = -7   und n = 49

also p(x) = -2x + 49 .

Die variablen Kosten werden beschrieben durch Kv = x^3-6x^2+12x. Die Fixkosten betragen 35 GE.

==>  K(x) = x^3-6x^2+12x+35

Erlös:  E(x) =  p(x) * x =  -7x^2 + 49x

Gewinn G(x)  = E(x) - K(x)  = -7x^2 + 49x -  (x^3-6x^2+12x+35 )

                                            = - x^3 - x^2  +37x   - 35

G ' (x) = 0

<=> -3x^2 -2x + 37  = 0

pos. Lösung nur  x =3,19

G ' ' (x) = -6x -2  also G ' ' (3,19) < 0 ==> Max. bei x =3,19

Und G(3,19) =40,4 . Gewinn 40,4 GE.

2.  Preis ist dann   p(3,19)= 26,67