Bestimmen und Skizzieren Sie für alle Lösungen von z ∈ ℂ der Gleichung z4 = -81

Question

Aufgabe:

Bestimmen und Skizzieren Sie für alle Lösungen von  \( z \in ℂ \)  der Gleichung \( z^4 = -81 \)

Tipp: Polardarstellung

Answer 1

-81 = 81 * (cos(180°) + i*sin(180°) )

Für eine 4. Wurzel musst du die 4. Wurzel aus dem Betrag nehmen, das wäre 3

und den Winkel durch 4 teilen, also

z1 = 3* (cos(45°) + i*sin(45°) = 3*( √(2) / 2 + i * √(2) / 2 )= 3*√(2) / 2 + i * 3√(2) / 2

Die anderen drei bekommst du, wenn du statt mit 180° mit den äquivalenten Winkeln

180°+360°;  180°+2*360° ; 180°+3*360°   beginnst.

Comments

Danke für die schnelle Antwort!

wären demnach

z2 = 3*cos(135°) + i*sin(135°) = 3*(-(√(2) / 2) + i * -(√(2) / 2)) = -3*√(2) / 2 - i * 3√(2) / 2

z3 = 3*cos(225°) + i*sin(225°) = 3*(-(√(2) / 2) + i * -(√(2) / 2)) = -3*√(2) / 2 - i * 3√(2) / 2

z4 = 3*cos(315°) + i*sin(315°) = 3*(√(2) / 2 + i * √(2) / 2) = 3*√(2) / 2 + i * 3√(2) / 2

Answer 2

allgemein: z_k=|z₁| ^(1/n)* eⁱ ((φ+2kπ)/n)  ; (k∈0,1,2,3)

|z₁|= 81

tan(φ)= Imaginärteil/Realteil =0/-81 =0 (2.Quadrant)

φ=π ,n=4

-------> in die Formel einsetzen:

z₀= 81 ^(1/4) eⁱ ((π+2*0*π)/4)

z₀=81 ^(1/4) eⁱ ((π/4)

z₀ =3 (cos(π/4) +i sin(π/4))

z₀ =3 (√2/2 +i √2/2)

z₀ ≈2.12+i 2.12

z₁= -2.12-i 2.12

z₂ =2.12-i 2.12

z₃= -2.12+i 2.12

Comments

Von wo hast du die allgemeine Formel?

Ich habe nur e hoch i mal phi als formel.

---

z,B hier:

https://de.wikibooks.org/wiki/Formelsammlung_Mathematik:_Komplexe_Za…

unter dem Punkt Wurzeln

Es gibt aber im Internet noch andere Stellen dazu.

Außerdem habe ich die Formel an der Hochschule damals gelernt.