Geometrie: Mantelfläche, Grundflächenverschiebung

Question

Aufgabe:

Eine gerade quadratische Pyramide, dessen Grundquadrat die Seitenlänge a = 24 cm hat und dessen Höhe die Länge h = 38 cm besitzt, soll durch eine zur Grundfläche parallele Ebene so in einen Pyramidenstumpf und eine Pyramide zerlegt werden, dass diese beiden Teilkörper den gleichen Mantelflächeninhaltbesitzen. Welchen Abstand muss die Schnittebene jeweils von der Grundflächenebene haben?

Vielen Dank:)

Answer 1

Eine Skizze kann noch nachgereicht werden

Die Seitenlänge einer Pyramidenfläche ist
s ^2 = h^2 + (a/2) ^2
s = √ ( h^2 + (a/2) ^2 )

Mantelfläche :
4 * ( 1/2 * a * s )

h1 wäre die Höhe der oberen Pyramide
h / a = h1 / a1
a1 = a * h1 / h
s1 = √ ( h1^2 + (a1/2) ^2 )

Mantelfläche untere Pyramide
[ 4 * ( 1/2 * a * s ) ] minus [ 4 * ( 1/2 * a1 * s1 ) ]
Mantelfläche obere Pyramide
( 4 * ( 1/2 * a1 * s1 )

[ 4 * ( 1/2 * a * s ) ] - [ 4 * ( 1/2 * a1 * s1 ) ] =
( 4 * ( 1/2 * a1 * s1 )

[ 4 * ( 1/2 * a * s ) ] = [ 2 * 4 * ( 1/2 * a1 * s1 ) ]
2 * a * s   =  4 * a1 * s1
a * s = 2 * a1 * s1
a * √ ( h^2 + (a/2) ^2 ) = 2 * a * h1 / h * √ ( h1^2 + (a1/2) ^2 )

√ ( h^2 + (a/2) ^2 )
= 2 * h1 / h * √ ( h1^2 + ( ( a * h1 / h/2)) ^2 )

h1 = obere Höhe = 26.9 cm
untere Höhe = 11.1 cm

Frage nach bis alles klar ist.

Comments

Womit gezeigt wäre, das es auch deutlich komplizierter geht, wenn man den Strahlensatz nicht benutzt :)

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Hallo coach,

Nachfrage des eleven,
Und wie komme ich auf diesen Lösungsweg? Könntest du vielleicht einmal den Rechenweg dahin erklären?

Genau das habe ich mit meinen Mitteln gemacht.

Es mag noch andere Wege geben.

mfg Georg

Answer 2

(1 - √(0.5))·38 = 11.12994231 cm

Comments

Und wie komme ich auf diesen Lösungsweg? Könntest du vielleicht einmal den Rechenweg dahin erklären?

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Überlege dir wenn du einen Anteil p der Höhe von der Spitze her abtrennst, das du also eine kleinere Pyramide mit der Höhe 38 * p hast, welchen Anteil die Mantelfläche an der kompletten Manteläche der kompletten Pyramide besitzt.

Das lässt sich mit dem Strahlensatz recht einfach machen. Äußere dann deine Vermutung und/oder bestätigende Rechnung.