Schnittpunkt einer Geraden mit 2 Punkten und einer Fläche

Question

Aufgabe:

Eine Gerade g verläuft durch die Punkte [2 0 2]^T und [3, 3, 0]^T.

Berechnen Sie die Schnittpunkte dieser Geraden mit der algebraischen Fläche $$ x^2+2y=4 $$

Problem/Ansatz:

Ich habe hier G in die Geradengleichung gesetzt:

$$ g:\vec{t} = \left(\begin{array}{l}{2} \\ {0} \\ {2}\end{array}\right) + t \left(\begin{array}{l}{1} \\ {3} \\ {2}\end{array}\right) =  \left(\begin{array}{l}{2+t} \\ {3 t} \\ {2-2 t}\end{array}\right) $$

Als Tipp steht: parametrische Gerade in Flächengleichung einsetzen.

Allerdings weiß ich nicht was ich da genau machen soll.

Als Antwort in der Lösungsskizze habe ich die Schnittpunkte:

SP1= [2, 0, 2]^T, SP2 = [-8, -30, 22]^T

Vielen Dank :)

Answer 1

Die Parameterform der Geraden lautet:$$g:\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2+t\\3t\\2-2t \end{pmatrix}$$Wird dies in die Koordinatengleichung der Fläche eingesetzt, ergibt das$$\left(2+t\right)^2+2\cdot 3t=4$$Dies ist eine quadratische Gleichung über \(t\), die sich ggf. nach \(t\) auflösen lässt. Die Lösungen müssen dann in \(g\) eingesetzt werden, um die Schnittpunkte zu bekommen.

Comments

(2+t)² + 6t = 4 | -4

(2+t)² + 6t -4 = 0 | binomische Formel auf t => (2+t)² = 4+4t+t²

4 + 4t + t² + 6t -4 = 0 | Zussammenführen der Variablen

t² + 10t = 0 | pq Formel

$$ -\frac{10}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{10}{2}\right)^{2}} $$

Wurzel & Quadrat heben sich auf

t1 = -5 + 5 = 0

t2 = -5 -5 = -10

Einsetzen t1:

$$ \left(\begin{array}{l}{2+t} \\ {3 t} \\ {2-2 t}\end{array}\right)  = \left(\begin{array}{l}{2+0} \\ {3 * 0} \\ {2-0}\end{array}\right) = \left(\begin{array}{l}{2} \\ {0} \\ {2}\end{array}\right) $$

Einsetzen t2:

$$ \left(\begin{array}{l}{2+t} \\ {3 t} \\ {2-2 t}\end{array}\right)  = \left(\begin{array}{l}{2-10} \\ {-3 * 10} \\ {2+20}\end{array}\right) = \left(\begin{array}{l}{-8} \\ {-30} \\ {22}\end{array}\right) $$

SP1 = [2,0,2]

SP2 = [-8, -30, 22]

! Das passt dann auch mit den Antworten auf meiner Lösungsskizze :)