Berechnen der extremwertverdächtigen Stellen der Funktion f(x,y)=1/3x^3+1/3y^3+x^2+y^2-3y-3

Question

Aufgabe:

Berechnen der extremwertverdächtige Stellen der Funktion f(x,y)=1/3x^3+1/3y^3+x^2+y^2-3y-3

Und Untersuchen Sie jeweils, ob es Sattelpunkte, Maximumstelle oder Minimumstelle ist.

Kann mir da jemand helfen?

Answer 1

f(x, y) = 1/3·x^3 + 1/3·y^3 + x^2 + y^2 - 3·y - 3

Gradient

f'(x, y) = [x^2 + 2·x, y^2 + 2·y - 3] = [0, 0] --> (x = -2 ∧ y = -3) ∨ (x = -2 ∧ y = 1) ∨ (x = 0 ∧ y = -3) ∨ (x = 0 ∧ y = 1)

Diese Punkte könntest du jetzt mit der Hessematrix weiter Untersuchen

f''(-2, -3) = [-2, 0; 0, -4] → negativ definit → Maximum

f''(-2, 1) = [-2, 0; 0, 4] → indefinit → Sattelpunkt

f''(0, -3) = [2, 0; 0, -4] → indefinit → Sattelpunkt

f''(0, 1) = [2, 0; 0, 4] → positiv definit --> Minimum

Comments

Und woher weiß ich das das eine ein maximum und das andere ein Minimum ist und was sind definit und undefinit sattelpunkte?

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Mache dich mit den Grundlagen vertraut indem du nochmals im Skript oder in deinen Unterlagen nachliest wie du die Art der kritischen Stellen bestimmst.

Hier eine Kurzform

https://www.massmatics.de/merkzettel/#!207:Mehrdimensionale_Extremstellen

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Hallo ich habe eine wichtige frage .. Wenn ich fx faktorisiere komme ich auf die x werte : -2,0 und wenn ich die y werte faktorisiere auf y werte von -3 und 1 wie bekomme ich Murdoch die dazugehörigen x und y werte jeweis ??

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Jede Kombination ist denkbar. Daher gibt es hier 4 Lösungen.

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Und warum ist jede kombination denkbar ? Wie erkenne ich das.. sitze seit stunden dran und weiß nicht warum es so is

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x^2 + 2·x = 0
y^2 + 2·y - 3 = 0

Du suchst doch alle Lösungen der Form (x, y) bei der beide Gleichungen erfüllt sind.

(x = -2 ∧ y = -3) ∨ (x = -2 ∧ y = 1) ∨ (x = 0 ∧ y = -3) ∨ (x = 0 ∧ y = 1)

Sind jeweils beide Gleichungen erfüllt wenn du eine der obigen 4 Kombinationen einsetzt?

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Wenn ich die erste Gleichung faktorisiere habe ich x*(x-2) somit werte für x=0 und -2

wenn ich bei der 2ten Gleichung pq formel mache komme ich auf die Werte y1= 1 und y2= -3 und nun hätte ich gedacht das ich meine y werte in fx reinsetze und meine x werte in fy jedoch habe ich hier in fx keine y- werte und in fy keine x werte..

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Und deswegen sind alle Kombinationen aus x und y denkbar.

Wenn du also für x = 0 einsetzt und für y = 1 einsetzt sind beide Gleichungen erfüllt. Und das ist es doch was man haben möchte.

Das ist doch der Sinn von Gleichungssystemen.

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Vielen dankkk hab es nun  verstanden ! :)

Answer 2

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