Stammfunktion von (1-sin(t))/(cos(t)) dt

Question

Aufgabe:

Folgende Stammfunktion soll gebildet werden:

$$\int_{0}^{x} \frac{1 - \sin{(t)}}{cos(t)} dt$$

Problem/Ansatz:

Ich dachte mir ich ziehe den Bruch auseinander und habe dann da stehen:

$$\int_{0}^{x} \frac{1}{cos(t)} dt - \int_{0}^{x} \frac{\sin{(t)}}{cos{(t)}} dt$$

Der hintere Teil nach dem minus lässt sich ja einfach integrieren, da ja der Zähler die Ableitung vom Nenner ist.

Wie würde eine einfache herangehensweise für den ersten Teil aussehen, evt. mit Additionstheoremen oder ... ?

Comments

So ganz einfach scheint das nicht zu werden. https://www.wolframalpha.com/input/?i=(1-sin(t))%2F(cos(t))

Die alternate forms ebenfalls nicht speziell einfach.

Beim letzten Bruch ist im Zähler sin(2t) zu vermuten. Vielleicht hast du nun doch eine Idee?

Dein linker Summand übrigens:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=1%2F(cos(t))

integriert:

Indefinite integral:
\( \begin{array}{l} \int \sec (t) d t=\log (\tan (t)+\sec (t))+\text { constant } \\ \text { (assuming a complex-valued logarithm) } \end{array} \)

Answer 1

Schau mal unter

Das sollte dir das sehr vereinfachen.

Answer 2

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Comments

Dies ist aus meiner Sicht die beste Antwort. Der FS sieht das allerdings nicht so. Das sagt auch etwas zu seinen mathematischen Einsichten.

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Es liegt einfach daran, dass die Multiplikation von

$$\frac{1+\sin{(t)}}{1 + \sin{(t)}}$$ nicht nachvollziehbar geschieht obwohl man dadurch mit 1 erweitert hat. Der Rest ist dann wieder klar.

Jedoch fällt mir die Substitution mit $$\sin{(t)}$$ wesentlich schneller und auch eleganter.

Das kann man hier auch natürlich rein Subjektiv bewerten, jedoch geht es um die Hilfestellung die mir vom Mathecoach besser gefallen hat.

Bei der Anzahl an Möglichkeiten der "Einfachheit" zur Stammfunktionsbildung, habe ich hier nach Grad der Einfachheit, sowie in der Aufgabenstellung geschrieben steht, entschieden und wurde dabei von niemanden enttäuscht.

Zudem sei gesagt, dass die Unterstützung vom Grosserloewe seit jeher von mir immer geschätzt wurde. Er macht seine Arbeit sehr ausführlich und stellt diese sogar als Scan zur Verfügung.