Wie Stetigkeit im R^2 zeigen?

Question

Aufgabe:

Zeige, dass f:ℝ^2 → ℝ mit \( \frac{ln(1+x^4) * sin^2(y)}{x^2} \) für x ≠ 0 und 0 für x=0 stetig ist.

Problem/Ansatz:

Für x ungleich 0 gilt, dass f stetig ist, da f eine Komposition stetiger Funktionen ist.
Mein Problem liegt darin zu zeigen, dass f auch in x=0 stetig ist.

Sei xn eine beliebige Nullfolge, dann: $$\lim\limits_{x\to\infty} f(xn) = \lim\limits_{x\to\infty} \frac{ln(1+xn^4) * sin^2(y)}{xn^2} $$

Den Grenzwert für xn darf ich jetzt leider nicht einsetzen, da ich ja sonst eine Nulldivision ausführen würde. Wie kann ich weiter vorgehen? Ich muss ja zeigen, dass f(xn) gegen 0 = f(0,y) konvergiert.

Answer 1

nach Taylor ist LN(1+x)≈x für x nahe 0.

Also LN(1+x^4) ≈x^4

und damit strebt deine Funktion gegen 0 für x gegen 0.

Comments

Reicht so etwas denn aus? Das ist dann ja keine Äquivalenz mehr, sondern eine ungefähre Umformund

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Das wäre erstmal nur eine Begründung. Formell richtig müsstest du nun mit dem Einschluss Kriterium argumentieren, daher die Ungleichungskette

0<ln(1+x^4)/x^2<x^2

betrachten.

Answer 2

Du betrachtest eine Folge im R^2 , also (xn ; yn ) , die gegen (0;0) geht.

Dann gehen sowohl die xn gegen 0, als auch die yn.

Und f(xn;yn) ist das Produkt aus ln(1+xn^4) / xn^2

und sin^2(yn) .

Beide Faktoren gehen gegen 0, also auch deren Produkt.

Comments

Du betrachtest eine Folge im R^2 , also (xn ; yn ) , die gegen (0;0) geht.
Das tut der Fragesteller aus gutem Grund nicht.

Beide Faktoren gehen gegen 0
Warum der erste Faktor das tut war doch gerade die Frage und kann durch ein solches Statement schwerlich beantwortet werden.