Stauchung, Streckung, Sinus, Cosinus

Question

Ich verstehe nicht ganz wie sich die Veränderung der Faktoren auf die Sinus, bzw. Cosinus Funktion auswirken.. 

Beispiel Sinus:

f(x)= a • sin (b• (x+ e) + d

Also der Betrag von a ist die Amplitude, bei Sinus und Cosinus jeweils 1 und daher nur relevant falls die Schwingung eine grösser oder kleiner Amplitude hat.

- e / + e verschiebt den Graphen rechts/ links
(umgekehrt weil wir x verschieben, operieren aber im Bereich f(x))
+ d / - d nach oben/ unten

soweit kann ich folgen, glaube ich, wenn ich jetzt sin (x) betrachte kann ich dann von 360Grad ausgehen im Bogenmass daher 2Pi für eine Periode? Weil y dann einen Wert zwischen -1 und 1 einnimmt.

Was ich gar nicht verstehe, wenn ich b betrachte, dann würde ich sagen für eine Streckung multipliziere ich 2Pi • b, für eine Stauchung mit b< 1, das ist jedoch falsch, warum? Was ist die Überlegung dahinter und sind die vorherigen Überlegungen richtig?

Vielen Dank im Voraus!:)

Answer 1

f(x)= a·sin (b·(x + e)) + d

In x-Achsenrichtung funktioniert einiges anders wie in y-Richtung

d > 0 verschiebt die Funktion um d Einheiten in Richtung positiver y-Achse.

e > 0 verschiebt die Funktion um e Einheiten in Richtung negativer x-Achse.

a > 1 streckt die Funktion von der x-Achse aus in Richtung der y-Achse.

b > 1 staucht die Funktion von der y-Achse aus in Richtung der x-Achse.

Siehst du die kleinen aber feinen Unterschiede?

Comments

In x-Achsenrichtung funktioniert einiges anders wie in y-Richtung

Nein. Es ist ganz genau das Gleiche.

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Könntest du mir das erläutern. Ich habe doch Unterschiede oben schon deutlich gemacht.

z.B. das ein positiver Summand einmal etwas in positive Achsenrichtung und einmal in negative Achsenrichtung verschiebt.

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Die Gleichung  y = f(x)  beschreibt die Funktion f.

Im Folgenden kann z genauso für die x- wie auch für die y-Koordinate stehen.
Der Graph von f wird um z_0 in z-Richtung verschoben, indem in obiger Gleichung z ersetzt wird durch  z - z_0 (ist z_0 positiv, so erfolgt die Verschiebung immer in positiver Koordinatenrichtung).
Der Graph von f wird in z-Richtung   g e d e h n t  , indem z ersetzt wird durch z / C_z  mit einem C_z > 1.

Beispiel :  Eine gleichzeitige Dehnung in x-Richtung um 4 und in y-Richtung um 7 führt auf die Gleichung   y/7 = f(x/4)

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Ich denke du solltest dich bei deiner Argumentation schon auf die vorgegebene Form beziehen in der Parameter und die Rechenart vorgegeben war.

f(x) sei irgendeine Funktion. Oben die Sinus-Funktion

g(x) = a·f(b·(x + c)) + d

g(x) entsteht aus f(x) durch Verschiebungen und/oder Streck- bzw. Stauchungen.

Warum oben e anstatt c verwendet wird entzieht sich meiner Kenntnis. Ich schreibe dort immer c. Liegt ja auch nahe die Parameter einfach in alphabetischer Reihenfolge zu beschriften.

Natürlich kannst du auch die Rechenzeichen austauschen. Aber das führt für Fragesteller doch für Verwirrungen.

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Für beide Betrachtungsweisen finden sich Liebhaber im Netz:

Nein. Es ist ganz genau das Gleiche:

https://de.serlo.org/mathe/funktionen/funktionsbegriff/funktionen-graphen/funktionsgraphen-stauchen-strecken

In x-Achsenrichtung funktioniert einiges anders wie in y-Richtung:

https://www.abiturma.de/mathe-lernen/analysis/kurvendiskussion/graphen-strecken-und-stauchen

Aus pädagogischer Sicht ist bei der vorgegebenen Form der Funktionsgleichung aber wohl die Darstellung von Mathecoach vorzuziehen.

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"Wo ist der Mittelpunkt des Kreises mit der Gleichung  (x-3)^2 + (y-4)^2 = 10 ? "

"Ich weiß noch, dass es in x-Achsenrichtung anders funktioniert wie in y-Richtung und dass man x oder y umdrehen muss; ich habe das auch mal auswendig gelernt, aber ich habe vergessen, welches es war. Ist M = (-3 | 4) richtig - oder doch  M = (3 | -4) ?? "

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(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 10

und

y = 10 * (x - 3)^2 - 4

sind schon zwei verschiedene paar Schuhe.

Während bei der Kreisgleichung der Mittelpunkt des Kreises bei (3 | 4) liegt, liegt bei der quadratischen Funktion der Scheitelpunkt nicht bei (3 | 4) sondern bei (3 | -4).

Den Rest meiner Antwort habe ich gelöscht weil ich nicht möchte, dass der Fragesteller noch mehr verwirrt wird.